Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1080
2016-09-19 
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги равна $l = 1 м$, её сечение — квадрат со стороной $a = 1 см$.
Решение:
Кочерга начинает гнуться тогда, когда напряжение в её материале превышает предел упругости $\sigma$. При этом слои, находящиеся на внешней стороне дуги изгибаемой кочерги, растягиваются, а находящиеся на внутренней стороне дуги — сжимаются. Для оценки момента сил, который надо приложить, чтобы кочерга согнулась, можно считать, что на верхнюю половину сечения кочерги действует растягивающее усилие $f = \sigma \cdot a \cdot \frac{a}{2}$, а на нижнюю половину — такое же сжимающее усилие (см. рис.). Тогда момент сил равен: $M = \frac{ \sigma a^{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{ \sigma a^{3}}{4}$.
Более точная оценка для момента силы получается при учёте линейного закона изменения напряжения по сечению кочерги: $M_{T} = \int_{-a/2}^{a/2} x \cdot \sigma(x) dS$,где $\sigma(x) = \frac{2x}{a} \sigma$ и $dS = adx$, откуда получается, что $M_{T} = 2 \sigma \int_{-a/2}^{a/2} x^{2} dx = \frac{ \sigma a^{3}}{6}$. Таким образом, обе полученные оценки близки.
Получим теперь оценку для силы. Заметим, что кочергу можно гнуть двумя способами. Первый способ — упираться коленом в середину кочерги, а за её концы тянуть уками с силой $F$. Тогда изгибающий момент будет равен $M = Fl/2$, откуда
$F = \frac{2M}{l} = \frac{2}{l} \cdot \frac{ \sigma a^{6}}{4(6)} = \frac{ \sigma a^{3}}{2(3)l} = 150 (100) Н$.
(Цифры в скобках здесь и далее соответствуют более точной оценке момента сил $M_{T}$). Это не очень большое усилие!
Второй, более «честный» способ изгибания кочерги: создавать моменты сил ладонями рук, ничем, кроме них, не упираясь в кочергу. Считая, что ширина ладони равна $L \approx 10 см$, получаем: $M \cong F_{1}L$, и
$F_{1} = \frac{M}{L} = \frac{ \sigma a^{3}}{4(6)L} = 750 (500) Н$.
Такое усилие создать пальцами рук достаточно трудно!
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги равна $l = 1 м$, её сечение — квадрат со стороной $a = 1 см$.
Решение:
Кочерга начинает гнуться тогда, когда напряжение в её материале превышает предел упругости $\sigma$. При этом слои, находящиеся на внешней стороне дуги изгибаемой кочерги, растягиваются, а находящиеся на внутренней стороне дуги — сжимаются. Для оценки момента сил, который надо приложить, чтобы кочерга согнулась, можно считать, что на верхнюю половину сечения кочерги действует растягивающее усилие $f = \sigma \cdot a \cdot \frac{a}{2}$, а на нижнюю половину — такое же сжимающее усилие (см. рис.). Тогда момент сил равен: $M = \frac{ \sigma a^{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{ \sigma a^{3}}{4}$.
Более точная оценка для момента силы получается при учёте линейного закона изменения напряжения по сечению кочерги: $M_{T} = \int_{-a/2}^{a/2} x \cdot \sigma(x) dS$,где $\sigma(x) = \frac{2x}{a} \sigma$ и $dS = adx$, откуда получается, что $M_{T} = 2 \sigma \int_{-a/2}^{a/2} x^{2} dx = \frac{ \sigma a^{3}}{6}$. Таким образом, обе полученные оценки близки.
Получим теперь оценку для силы. Заметим, что кочергу можно гнуть двумя способами. Первый способ — упираться коленом в середину кочерги, а за её концы тянуть уками с силой $F$. Тогда изгибающий момент будет равен $M = Fl/2$, откуда
$F = \frac{2M}{l} = \frac{2}{l} \cdot \frac{ \sigma a^{6}}{4(6)} = \frac{ \sigma a^{3}}{2(3)l} = 150 (100) Н$.
(Цифры в скобках здесь и далее соответствуют более точной оценке момента сил $M_{T}$). Это не очень большое усилие!
Второй, более «честный» способ изгибания кочерги: создавать моменты сил ладонями рук, ничем, кроме них, не упираясь в кочергу. Считая, что ширина ладони равна $L \approx 10 см$, получаем: $M \cong F_{1}L$, и
$F_{1} = \frac{M}{L} = \frac{ \sigma a^{3}}{4(6)L} = 750 (500) Н$.
Такое усилие создать пальцами рук достаточно трудно!
