Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1077
2016-09-19 
Паук массой $m$ ползёт по лёгкой упругой паутинке жёсткостью $k$, натянутой под углом $\theta$ к горизонту между точками А и В, находящимися на расстоянии $L$ (см. рисунок). Собственной длиной паутинки можно пренебречь. Найдите траекторию паука, считая, что паутинка подчиняется закону Гука.
Решение:
Введём систему координат, как показано на рисунке, и запишем проекции сил натяжения частей паутинки на координатные оси (здесь $k_{1}$ и $k_{2}$ — жёсткости частей паутинки):
$T_{1x} = k_{1}(L \cos \theta - x), T_{2x} = - k_{2}x$,
$T_{1y} = k_{1}(L \sin \theta - y), T_{2y} = - k_{2}y$.
Из условий равновесия паука имеем:
$T_{1x} + T_{2x} = 0, T_{1y} + T_{2y} = mg$,
откуда
$x = \frac{k_{1}L \cos \theta}{k_{1}+k_{2}}, y = \frac{k_{1}L \sin \theta}{k_{1}+k_{2}} - \frac{mg}{k_{1}+k_{2}}$.
Поскольку части паутинки с коэффициентами жёсткости $k_{1}$ и $k_{2}$ составляют паутинку с жёсткостью $k$, имеем: $k = \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$. Учитывая, что $\frac{x}{L \cos \theta} = \frac{k_{1}}{k_{2}+k_{2}}$ и $1 - \frac{x}{L \cos \theta} = \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$, получаем:
$\frac{k}{k_{1}+k_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{1}+k_{2}} = \frac{x}{L \cos \theta} \left ( 1 - \frac{x}{ L \cos \theta} \right )$
Следовательно, траектория паука имеет вид:
$y = x tg \theta - \frac{mg}{k_{1}+k_{2}} = x tg \theta - \frac{mg}{k} \frac{x}{L \cos \theta} \left ( 1- \frac{x}{L \cos \theta} \right ) = \frac{mg}{kL^{2} \cos^{2} \theta} x^{2} + \left ( tg \theta - \frac{mg}{kL \cos \theta} \right ) x$,
то есть является параболой. Тангенс угла наклона касательной к этой параболе в начале координат определяется выражением $tg \theta - \frac{mg}{kL \cos \theta}$ и может быть как положительным, так и отрицательным.
Паук массой $m$ ползёт по лёгкой упругой паутинке жёсткостью $k$, натянутой под углом $\theta$ к горизонту между точками А и В, находящимися на расстоянии $L$ (см. рисунок). Собственной длиной паутинки можно пренебречь. Найдите траекторию паука, считая, что паутинка подчиняется закону Гука.
Решение:
Введём систему координат, как показано на рисунке, и запишем проекции сил натяжения частей паутинки на координатные оси (здесь $k_{1}$ и $k_{2}$ — жёсткости частей паутинки):
$T_{1x} = k_{1}(L \cos \theta - x), T_{2x} = - k_{2}x$,
$T_{1y} = k_{1}(L \sin \theta - y), T_{2y} = - k_{2}y$.
Из условий равновесия паука имеем:
$T_{1x} + T_{2x} = 0, T_{1y} + T_{2y} = mg$,
откуда
$x = \frac{k_{1}L \cos \theta}{k_{1}+k_{2}}, y = \frac{k_{1}L \sin \theta}{k_{1}+k_{2}} - \frac{mg}{k_{1}+k_{2}}$.
Поскольку части паутинки с коэффициентами жёсткости $k_{1}$ и $k_{2}$ составляют паутинку с жёсткостью $k$, имеем: $k = \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$. Учитывая, что $\frac{x}{L \cos \theta} = \frac{k_{1}}{k_{2}+k_{2}}$ и $1 - \frac{x}{L \cos \theta} = \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$, получаем:
$\frac{k}{k_{1}+k_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{1}+k_{2}} = \frac{x}{L \cos \theta} \left ( 1 - \frac{x}{ L \cos \theta} \right )$
Следовательно, траектория паука имеет вид:
$y = x tg \theta - \frac{mg}{k_{1}+k_{2}} = x tg \theta - \frac{mg}{k} \frac{x}{L \cos \theta} \left ( 1- \frac{x}{L \cos \theta} \right ) = \frac{mg}{kL^{2} \cos^{2} \theta} x^{2} + \left ( tg \theta - \frac{mg}{kL \cos \theta} \right ) x$,
то есть является параболой. Тангенс угла наклона касательной к этой параболе в начале координат определяется выражением $tg \theta - \frac{mg}{kL \cos \theta}$ и может быть как положительным, так и отрицательным.
