Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1070
2016-09-18 
В дни празднования 850-летия основания Москвы продавалось много «летающих» воздушных шариков. Некоторые наиболее сообразительные школьники с помощью небольшого грузика «подвешивали» их к наклонным потолкам московского метро (см. рисунок). Грузик какой массы $M$ годится для этой цели? При решении задачи считайте, что шарик имеет форму сферы радиусом $R$, и проскальзывание о потолок отсутствует. Масса резиновой оболочки шарика $m$, плотность газа внутри шарика $\rho$, плотность атмосферы $\rho_{0}$, потолок имеет угол наклона $\alpha$.
Решение:
Масса груза $M$ ограничивается двумя условиями. Во-первых, $M$ не должна быть слишком велика — иначе шарик упадёт на землю. Во-вторых, $M$ не должна быть слишком мала — иначе шарик покатится вверх по наклонному потолку. Рассмотрим оба этих условия отдельно.
1. Найдём максимальную массу $M$, при которой шарик ещё не будет падать вниз. Поскольку очевидно, что объём грузика очень мал по сравнению с объёмом шарика, при расчётах будем пренебрегать объёмом грузика. Тогда для того, чтобы шарик не падал, действующая на него сила Архимеда должна быть больше суммы сил тяжести, действующих на груз, резиновую оболочку и накачанный в неё газ:
$\rho_{0}gV > mg + Mg + \rho gV$,
где $V = (4/3) \pi R^{3}$ — объём воздушного шарика. Отсюда находим первое условие, которому должна удовлетворять масса груза:
$M < \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m$. (1)
2. Если груз, масса которого удовлетворяет условию (1), подвесить к нижней точке шарика, то шарик покатится вверх по потолку (по условию задачи проскальзывания нет). Шарик будет проворачиваться до тех пор, пока момент силы тяжести $L_{M}$, действующей на груз, не скомпенсирует сумму моментов силы Архимеда и силы тяжести, действующей на шарик и на накачанный в него газ. Если же этого так и не произойдёт при максимально возможном значении момента $L_{M}$, то шарик будет катиться вверх по потолку.
Выберем для вычисления моментов сил горизонтальную ось, проходящую через точку касания шарика и потолка. Тогда максимально возможный момент силы тяжести, действующей на груз, будет достигаться в ситуации, показанной на рисунке. Его величина равна: $L_{M} = Mg(R + R \sin \alpha) = MgR(1 + \sin \alpha)$. С учётом этого выражения условие для моментов сил запишется в виде
$MgR(1 + \sin \alpha) \geq ( \rho_{0} gV — mg — \rho gV) R \sin \alpha$,
откуда, с учётом выражения для $V$:
$M \geq \frac{ \left ( \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m \right ) \sin \alpha }{1 + \in \alpha}$. (2)
Объединяя (1) и (2), окончательно получаем:
$\left ( \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m \right ) \frac{ \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} \leq M < \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m$.
Следует отметить, что с ростом угла а максимальная сила трения шарика о потолок уменьшается, и утверждение об отсутствии проскальзывания шарика по потолку, высказанное в условии задачи, перестаёт быть справедливым. Поэтому, конечно, угол $\alpha$ реально не может достигать $\pi /2$, хотя из вида нашего решения это и не следует.
В дни празднования 850-летия основания Москвы продавалось много «летающих» воздушных шариков. Некоторые наиболее сообразительные школьники с помощью небольшого грузика «подвешивали» их к наклонным потолкам московского метро (см. рисунок). Грузик какой массы $M$ годится для этой цели? При решении задачи считайте, что шарик имеет форму сферы радиусом $R$, и проскальзывание о потолок отсутствует. Масса резиновой оболочки шарика $m$, плотность газа внутри шарика $\rho$, плотность атмосферы $\rho_{0}$, потолок имеет угол наклона $\alpha$.
Решение:
Масса груза $M$ ограничивается двумя условиями. Во-первых, $M$ не должна быть слишком велика — иначе шарик упадёт на землю. Во-вторых, $M$ не должна быть слишком мала — иначе шарик покатится вверх по наклонному потолку. Рассмотрим оба этих условия отдельно.
1. Найдём максимальную массу $M$, при которой шарик ещё не будет падать вниз. Поскольку очевидно, что объём грузика очень мал по сравнению с объёмом шарика, при расчётах будем пренебрегать объёмом грузика. Тогда для того, чтобы шарик не падал, действующая на него сила Архимеда должна быть больше суммы сил тяжести, действующих на груз, резиновую оболочку и накачанный в неё газ:
$\rho_{0}gV > mg + Mg + \rho gV$,
где $V = (4/3) \pi R^{3}$ — объём воздушного шарика. Отсюда находим первое условие, которому должна удовлетворять масса груза:
$M < \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m$. (1)
2. Если груз, масса которого удовлетворяет условию (1), подвесить к нижней точке шарика, то шарик покатится вверх по потолку (по условию задачи проскальзывания нет). Шарик будет проворачиваться до тех пор, пока момент силы тяжести $L_{M}$, действующей на груз, не скомпенсирует сумму моментов силы Архимеда и силы тяжести, действующей на шарик и на накачанный в него газ. Если же этого так и не произойдёт при максимально возможном значении момента $L_{M}$, то шарик будет катиться вверх по потолку.
Выберем для вычисления моментов сил горизонтальную ось, проходящую через точку касания шарика и потолка. Тогда максимально возможный момент силы тяжести, действующей на груз, будет достигаться в ситуации, показанной на рисунке. Его величина равна: $L_{M} = Mg(R + R \sin \alpha) = MgR(1 + \sin \alpha)$. С учётом этого выражения условие для моментов сил запишется в виде
$MgR(1 + \sin \alpha) \geq ( \rho_{0} gV — mg — \rho gV) R \sin \alpha$,
откуда, с учётом выражения для $V$:
$M \geq \frac{ \left ( \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m \right ) \sin \alpha }{1 + \in \alpha}$. (2)
Объединяя (1) и (2), окончательно получаем:
$\left ( \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m \right ) \frac{ \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} \leq M < \frac{4}{3} ( \rho_{0} - \rho) \pi R^{3} - m$.
Следует отметить, что с ростом угла а максимальная сила трения шарика о потолок уменьшается, и утверждение об отсутствии проскальзывания шарика по потолку, высказанное в условии задачи, перестаёт быть справедливым. Поэтому, конечно, угол $\alpha$ реально не может достигать $\pi /2$, хотя из вида нашего решения это и не следует.
