2016-09-19
При перетягивании каната два человека тянут его в противоположные стороны за концы с большой силой $F$. Найдите прогиб каната от горизонтальной линии под действием силы тяжести. Масса каната $m$, длина $L$ сила $F \gg mg$.
Решение:
Обозначим вертикальную координату произвольной точки каната через $y$, а горизонтальную координату — через $x$. Рассмотрим участок каната между двумя горизонтальными координатами $x_{1}$ и $x_{2}$. Поскольку канат сильно натянут, то угол его наклона к горизонту невелик, и косинус этого угла можно считать близким к единице. Масса выбранного участка равна $(x_{2} — x_{1})m/L$. Углы наклона каната к горизонту в точках с координатами $x_{1}$ и $x_{2}$ отличаются. За счёт различия этих углов при практически одинаковой силе натяжения каната на выбранный его участок действует суммарная вертикальная сила со стороны остальных частей каната, находящихся справа и слева от этого участка. Эта суммарная сила компенсирует силу тяжести, действующую на данный участок каната:
$F \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )_{x_{2}} - F \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )_{x_{1}} = \frac{(x_{1}- x_{2})mg}{L}$
Разделим правую и левую части полученного равенства на $(x_{2} — x_{1})$. Получается, что вторая производная от координаты $y$ по координате $x$ равна постоянной величине: $d^{2} y/ dx^{2} = mg/(LF)$.
Начнём отсчёт координаты $x$ от самой нижней точки каната, а координату $y$ будем отсчитывать от этой же точки вверх. Тогда точке с координатой $L/2$ соответствует координата $y(L/2)$, которая отличается от координаты $y(0)$ в начальной точке на величину прогиба каната. Первая производная координаты $y$по $x$ равна $xmg/(LF)$. При такой зависимости первой производной от координаты $x$ сама функция $y(x)$ будет равна $x^{2} mg /(2LF)$, а величина прогиба каната составляет
$y(L/2) = \frac{(L/2)^{2} mg}{2LF} = \frac{mgL}{8F}$.