Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1076
2016-09-19 
Два одинаковых груза соединены нитью длиной $l$. К одному из грузов прикреплена вторая нить такой же длины. Система находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Свободный конец нити медленно перемещают по дуге окружности. Известно, что при установившемся движении угол между нитями составляет $\alpha$ (см. рисунок). Найдите радиус окружности, по которой перемещают свободный конец нити.
Решение:
Поскольку свободный конец нити движется по окружности, то в установившемся режиме оба груза должны двигаться также по окружностям. Эти окружности, очевидно, имеют разные радиусы, а центры всех трёх окружностей должны совпадать. При медленном перемещении конца нити скорость движения груза 1, к которому прикреплена всего одна нитка, направлена вдоль этой нитки. Это означает, что общий центр окружностей лежит на перпендикуляре к этой нитке, восстановленном из места прикрепления груза 1 (см. рис.).
Поскольку массы грузов одинаковы, то и силы трения, действующие на них при скольжении по шероховатой поверхности, тоже должны быть одинаковыми. Это означает, что сумма сил, действующих на груз 2 со стороны двух ниток, равна силе натяжения нитки, соединяющей грузы. Чтобы найти направление этой суммарной силы, выполним следующее построение. Проведём вспомогательную окружность произвольного радиуса с центром в месте нахождения груза 2. Через точку А, которая находится на пересечении окружности и нити, соединяющей грузы, проведём линию, параллельную другой нити. Тогда направление от точки нахождения груза 2 к точке B, в которой вспомогательная окружность пересекается с проведённой линией, будет совпадать с направлением суммарной силы, а следовательно, и с направлением скорости движения этого груза в данный момент времени. К этому направлению нужно также восстановить перпендикуляр из места прикрепления к ниткам груза 2. Тогда центр всех трёх окружностей, по которым движутся грузы и свободный конец нити, будет находиться в точке О, в которой пересекаются два вышеуказанных перпендикуляра. Из проведённого построения следует, что задача будет иметь решение только в том случае, если $2 \alpha < \pi /2$.
Направим ось $X$ вдоль нитки, соединяющей грузы, а ось $Y$ — перпендикулярно оси $X$ от груза 1 к точке О. Тогда разность координат $\Delta x$ свободного
конца нити и общего центра всех трёх окружностей равна $l(1 + \cos \alpha)$, а разность координат $\Delta y$ указанных точек равна $l \sin \alpha - l tg \left ( \frac{ \pi}{2} - 2 \alpha \right )$. Радиус $R$, который мы ищем, равен расстоянию $OO^{ \prime}$ на рисунке:
$R = \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}} = l \sqrt{ 1 + \cos \alpha()^{2} + ( \sin \alpha - ctg 2 \alpha )^{2} }$.
Два одинаковых груза соединены нитью длиной $l$. К одному из грузов прикреплена вторая нить такой же длины. Система находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Свободный конец нити медленно перемещают по дуге окружности. Известно, что при установившемся движении угол между нитями составляет $\alpha$ (см. рисунок). Найдите радиус окружности, по которой перемещают свободный конец нити.
Решение:
Поскольку свободный конец нити движется по окружности, то в установившемся режиме оба груза должны двигаться также по окружностям. Эти окружности, очевидно, имеют разные радиусы, а центры всех трёх окружностей должны совпадать. При медленном перемещении конца нити скорость движения груза 1, к которому прикреплена всего одна нитка, направлена вдоль этой нитки. Это означает, что общий центр окружностей лежит на перпендикуляре к этой нитке, восстановленном из места прикрепления груза 1 (см. рис.).
Поскольку массы грузов одинаковы, то и силы трения, действующие на них при скольжении по шероховатой поверхности, тоже должны быть одинаковыми. Это означает, что сумма сил, действующих на груз 2 со стороны двух ниток, равна силе натяжения нитки, соединяющей грузы. Чтобы найти направление этой суммарной силы, выполним следующее построение. Проведём вспомогательную окружность произвольного радиуса с центром в месте нахождения груза 2. Через точку А, которая находится на пересечении окружности и нити, соединяющей грузы, проведём линию, параллельную другой нити. Тогда направление от точки нахождения груза 2 к точке B, в которой вспомогательная окружность пересекается с проведённой линией, будет совпадать с направлением суммарной силы, а следовательно, и с направлением скорости движения этого груза в данный момент времени. К этому направлению нужно также восстановить перпендикуляр из места прикрепления к ниткам груза 2. Тогда центр всех трёх окружностей, по которым движутся грузы и свободный конец нити, будет находиться в точке О, в которой пересекаются два вышеуказанных перпендикуляра. Из проведённого построения следует, что задача будет иметь решение только в том случае, если $2 \alpha < \pi /2$.
Направим ось $X$ вдоль нитки, соединяющей грузы, а ось $Y$ — перпендикулярно оси $X$ от груза 1 к точке О. Тогда разность координат $\Delta x$ свободного
конца нити и общего центра всех трёх окружностей равна $l(1 + \cos \alpha)$, а разность координат $\Delta y$ указанных точек равна $l \sin \alpha - l tg \left ( \frac{ \pi}{2} - 2 \alpha \right )$. Радиус $R$, который мы ищем, равен расстоянию $OO^{ \prime}$ на рисунке:
$R = \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}} = l \sqrt{ 1 + \cos \alpha()^{2} + ( \sin \alpha - ctg 2 \alpha )^{2} }$.
