2016-09-18
Шарнирно закреплённый стержень длиной $l$ с грузом массой $M$ на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикреплённой одним концом к пружине жёсткостью $k$, а другим — к грузу. Гвоздь вбит на высоте $l$ над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу $M$ может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет. «Устойчиво» означает, что если стержень отклонить на небольшой угол $\alpha$ и отпустить, то он вернётся в начальное положение (см. рисунок).
Решение:
Запишем условие устойчивого равновесия груза в проекции на ось $X$, перпендикулярную стержню (см. рис.):
$F_{упр} \cos( \alpha/2) \geq Mg \sin \alpha$,
где $F_{упр} = k \cdot 2l \sin ( \alpha/2)$. При малых углах $\alpha$ можно считать, что $\cos \alpha \approx 1$, a $\sin \alpha \approx \alpha$. Тогда $F_{упр} \approx lkl \alpha \geq Mga$, откуда максимальная масса груза $M \approx kl/g$.
Задачу можно решать и из энергетических соображений. Для устойчивого равновесия необходимо, чтобы при отклонении стержня на малый угол $\alpha$ потенциальная энергия растянутой пружины была не меньше величины уменьшения потенциальной энергии груза в поле силы тяжести:
$ \frac{k( \alpha l)^{2}}{2} \geq Mgl(1 - \cos \alpha) \approx Mgl \frac{ \alpha^{2}}{2}$,
откуда получается то же самое ограничение на массу груза.