В остроугольном треугольнике $ABC$ известно, что $H$- точка пересечения высот $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_1$, $O$ - центр описанной окружности, $O'$ - центр окружности, описанной около треугольника $AHC$. Докажите, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
Подробнее
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, причём точка $B$ лежит на отрезке $OC$ и $A$ - на отрезке $OD$; $I$ - центр вписанной окружности треугольника $OAB$, $J$ - центр вневписанной окружности треугольника $OCD$, касающейся стороны $CD$ и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка $IJ$ на прямые $BC$ и $AD$, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках $X$ и $Y$. Докажите, что отрезок $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на $BC$ и $AD$ отрезок $XY$ имеет наименьшую длину.
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$. Две окружности с центрами в вершинах $A$ и $C$ проходят через вершину $D$. Прямая $l$ проходит через точку $D$ и вторично пересекает окружности в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BX=BY$.
Подробнее
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, проведённая через точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Подробнее
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$; $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей; $X$ и $Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA$ и $PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Подробнее
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Подробнее
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Подробнее
На основании $AD$ и боковой стороне $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ соответственно так, что $CDEF$ - также равнобедренная трапеция. Докажите, что $AE\cdot ED=AF\cdot FB$.
Подробнее
Каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что четырёхугольник - ромб?
Подробнее
Три окружности проходят через точку $P$, а вторые точки их пересечения $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - вторые точки пересечения прямых $AP$, $BP$, $CP$ с соответствующими окружностями; $C_{2}$ - точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $BA_{1}$; $A_{2}$, $B_{2}$ определяются аналогично. Докажите, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ равны.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точки $P$ и $Q$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $\angle DAQ=\angle CAB$, то $\angle PBA=\angle DBC$.
Подробнее
В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с прямыми, содержащими высоты, проведённые из двух вершин, и биссектрисой, проведённой из третьей вершины, после чего сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Подробнее
Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.
Подробнее
В прямоугольную трапецию $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ и острым углом при вершине $D$ вписана окружность с центром $O$. Прямая $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а прямая $CO$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle AMO=\angle DKO$.
б) Найдите площадь треугольника $AOM$, если $BC=5$ и $AD=20$.
Подробнее
В шестиугольнике $ABCDEF$ известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$ и $\angle A=\angle C=\angle E$. Докажите, что диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Подробнее
