В окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Подробнее
Точки $X$ и $Z$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$, лежащих внутри угла с вершиной $O$, на одну сторону угла, а точки $Y$ и $T$ - на другую. При этом $PX:PY=QZ:QT$. Докажите, что точки $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной прямой.
Подробнее
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон четырёхугольника пропорциональны этим сторонам. Докажите, что $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Подробнее
Пусть окружность с центром $I$ касается катетов $AC$, $BC$ и гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно, $H$ - точка пересечения высот $KK_{1}$, $LL_{1}$ и $MM_{1}$ треугольника $KLM$, а $F$ и $G$ - точки пересечения лучей соответственно $CL_{1}$ и $CK_{1}$ с гипотенузой $AB$. Докажите, что:
а) точки $A$, $I$ и $K_{1}$ лежат на одной прямой;
б) отрезок $K_{1}L_{1}$ лежит на средней линии треугольника $ABC$;
в) $\angle CL_{1}B=\angle CK_{1}A=90^{\circ}$;
г) отрезок $FG$ - проекция вписанной окружности треугольника $ABC$ на гипотенузу $AB$.
д) середина $O$ гипотенузы $AB$ лежит на прямой $HI$;
e) точка $H$ лежит на отрезке, соединяющем основания биссектрис треугольника $ABC$, проведённых из вершин $A$ и $B$.
Подробнее
Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_{0}=A,B_{1},B_{2},\dots,B_{n}=B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n+1$ равных частей (точки деления $C_{0}=A,C_{1},C_{2},\dots,C_{n+1}=C$). Закрасили треугольники $C_{i}B_{i}C_{i+1}$. Какая часть площади треугольника закрашена?
Подробнее
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата, до произвольной точки вписанной в него, постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона квадрата равна $2a$?
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ известно, что $H$- точка пересечения высот $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_1$, $O$ - центр описанной окружности, $O'$ - центр окружности, описанной около треугольника $AHC$. Докажите, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
Подробнее
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, причём точка $B$ лежит на отрезке $OC$ и $A$ - на отрезке $OD$; $I$ - центр вписанной окружности треугольника $OAB$, $J$ - центр вневписанной окружности треугольника $OCD$, касающейся стороны $CD$ и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка $IJ$ на прямые $BC$ и $AD$, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках $X$ и $Y$. Докажите, что отрезок $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на $BC$ и $AD$ отрезок $XY$ имеет наименьшую длину.
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$. Две окружности с центрами в вершинах $A$ и $C$ проходят через вершину $D$. Прямая $l$ проходит через точку $D$ и вторично пересекает окружности в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BX=BY$.
Подробнее
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, проведённая через точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Подробнее
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$; $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей; $X$ и $Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA$ и $PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Подробнее
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Подробнее
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Подробнее
На основании $AD$ и боковой стороне $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ соответственно так, что $CDEF$ - также равнобедренная трапеция. Докажите, что $AE\cdot ED=AF\cdot FB$.
Подробнее
Каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что четырёхугольник - ромб?
Подробнее
