Дан треугольник $ABC$. Вневписанная окружность касается его стороны $BC$ в точке $A_{1}$. Другая вневписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $B_{1}$. Отрезки $AA_{1}$ и $BB_{1}$ пересекаются в точке $N$. На луче $AA_{1}$ отметили такую точку $P$, что $AP=NA_{1}$. Докажите, что точка $P$ лежит на вписанной в треугольник окружности.
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB=a$, $AD=b$. Первая окружность имеет центр в вершине $A$ и проходит через вершину $D$, вторая имеет центр в вершине $C$ и проходит через вершину $D$. Произвольная окружность с центром $B$ пересекает первую окружность в точках $M_{1}$ и $N_{1}$, а вторую - в точках $M_{2}$ и $N_{2}$. Чему равно отношение $M_{1}N_{1}:M_{2}N_{2}$?
Подробнее
Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n+1}$ - правильный многоугольник с нечётным числом сторон, $M$ - произвольная точка на дуге $A_{1}A_{2n+1}$ окружности $S$, описанной около многоугольника, $l_{i}$ - длина касательной, проведённой из точки $M$ к окружности радиуса $r$, касающейся $S$ в точке $A_{i}$, причём все касания одновременно внешние или внутренние. Докажите, что сумма $l_{i}$ с нечётными номерами равна сумме $l_{i}$ с чётными номерами.
Подробнее
Пусть $a$, $b$, $c$ - длины сторон произвольного треугольника; $p$ - полупериметр; $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq6r.$
Подробнее
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$ соответственно; $O$ и $I$ - центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Точка $Q$ - проекция точки $P$ на прямую $OI$. Найдите расстояние $OQ$.
Подробнее
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей - вписанные четырёхугольники, причём радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть - четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Подробнее
Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ касаются данной в вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha\beta}$ - длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta\gamma}$, $t_{\gamma\delta}$ и т.д. определяются аналогично. Докажите, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}$
(обобщённая теорема Птолемея).
Подробнее
Прямая, проходящая через вершину $A$ квадрата $ABCD$, пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ в точке $F$. Докажите, что
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
Подробнее
В трапецию $ABCD$ ($BC\parallel AD$) вписана окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а оснований $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.
а) Пусть $Q$ - точка пересечения отрезков $BM$ и $AN$. Докажите, что $KQ\parallel AD$.
б) Докажите, что $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
Подробнее
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Подробнее
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Докажите, что $AB+AC\leq2AD$.
Подробнее
Из произвольной точки $D$, лежащей на описанной окружности фиксированного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $P$ и $Q$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что наибольшее значение длины отрезка $PQ$ равно длине стороны $BC$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и построена вневписанная окружность с центром $O$, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Точка $O_{1}$ симметрична точке $O$ относительно прямой $BC$. Найдите величину угла $A$, если известно, что точка $O_{1}$ лежит на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Подробнее
На меньшей дуге $CD$ описанной окружности квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Докажите, что $PA+PC=\sqrt{2}PB$.
Подробнее
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, причём прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке $P$. Докажите, что прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке $Q$.
Подробнее
