Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ касаются данной в вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha\beta}$ - длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta\gamma}$, $t_{\gamma\delta}$ и т.д. определяются аналогично. Докажите, что
$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}$
(обобщённая теорема Птолемея).
Подробнее
Прямая, проходящая через вершину $A$ квадрата $ABCD$, пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ в точке $F$. Докажите, что
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
Подробнее
В трапецию $ABCD$ ($BC\parallel AD$) вписана окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а оснований $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.
а) Пусть $Q$ - точка пересечения отрезков $BM$ и $AN$. Докажите, что $KQ\parallel AD$.
б) Докажите, что $AK\cdot KB=CL\cdot LD$.
Подробнее
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Подробнее
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Докажите, что $AB+AC\leq2AD$.
Подробнее
Из произвольной точки $D$, лежащей на описанной окружности фиксированного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $P$ и $Q$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что наибольшее значение длины отрезка $PQ$ равно длине стороны $BC$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и построена вневписанная окружность с центром $O$, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Точка $O_{1}$ симметрична точке $O$ относительно прямой $BC$. Найдите величину угла $A$, если известно, что точка $O_{1}$ лежит на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Подробнее
На меньшей дуге $CD$ описанной окружности квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Докажите, что $PA+PC=\sqrt{2}PB$.
Подробнее
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, причём прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке $P$. Докажите, что прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке $Q$.
Подробнее
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AD\ne BC$. Оказалось, что описанная окружность треугольника $ABC$, касается стороны $CD$, а описанная окружность треугольника $ACD$ касается стороны $AB$. Докажите, что диагональ $AC$ меньше, чем расстояние между серединами сторон $AB$ и $CD$.
Подробнее
Три прямые проходят через точку $O$ и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки $A_{1}$ и $A_{2}$, на другой - $B_{1}$ и $B_{2}$ так, что точка $C_{1}$ пересечения прямых $A_{1}B_{1}$ и $A_{2}B_{2}$ лежит на третьей прямой. Пусть $C_{2}$ - точка пересечения прямых $A_{1}B_{2}$ и $A_{2}B_{1}$. Докажите, что угол $C_{1}OC_{2}$ прямой.
Подробнее
На продолжении наибольшей стороны $AC$ треугольника $ABC$ отложен отрезок $CD=BC$. Докажите, что угол $ABD$ тупой.
Подробнее
$MA$ и $MB$ - касательные к окружности $\Omega$ с центром $O$; $C$ - точка внутри окружности, лежащая на дуге $AB$ окружности с центром в точке $M$ радиуса $MA$. Докажите, что отличные от $A$ и $B$ точки пересечения прямых $AC$ и $BC$ с окружностью $\Omega$ лежат на противоположных концах одного диаметра.
Подробнее
Диагонали четырёхугольника равны по $a$, а сумма его средних линий равна $b$ (средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислите площадь четырёхугольника.
Подробнее
Постройте прямоугольный треугольник по радиусу вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, и радиусу вписанной окружности.
Подробнее
