Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12966
2023-05-08 
В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с прямыми, содержащими высоты, проведённые из двух вершин, и биссектрисой, проведённой из третьей вершины, после чего сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Решение:
Пусть описанная окружность пересекает биссектрису угла $C$ треугольника $ABC$ в точке $C_{0}$, а продолжения высот, проведённых из вершин $A$ и $B$ - в точках $A_{1}$ и $B_{1}$. Поскольку
$\angle A_{1}AC=\angle B_{1}BC=90^{\circ}-\angle ACB,$
точка $C$ - середина дуги $A_{1}B_{1}$, не содержащей точки $C_{0}$. Если $C_{1}$ - точка пересечения описанной окружности с продолжением третьей высоты, то аналогично докажем, что $A$ и $B$ - середины соответствующих дуг $B_{1}C_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
Точка $C_{0}$ - середина дуги $AB$, поэтому прямая $OC_{0}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и значит, параллельна высоте, проведённой из вершины $C$.
Отсюда вытекает следующее построение. Опишем окружность около треугольника $A_{1}B_{1}C_{0}$. Пусть $O$ - её центр. Построим середину $C$ дуги $A_{1}B_{1}$, не содержащей точки $C_{0}$. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $OC_{0}$. Пусть $C_{1}$ - отличная от $C$ точка пересечения этой прямой с описанной окружностью треугольника $A_{1}B_{1}C_{0}$. Точки $A$ и $B$ строим как середины дуг $B_{1}C_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
Докажем, что треугольник $ABC$ удовлетворяет условию задачи. Действительно, точки $A$, $B$ и $C$ - середины соответствующих дуг описанной окружности треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, значит, $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$- высоты треугольника $ABC$ (см. задачу 8123). Точка $C_{0}$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $C$, т.к. $OC_{0}\parallel CC_{1}$, а $CC_{1}\perp AB$. Следовательно, $CC_{0}$ - биссектриса угла $ACB$. Что и требовалось доказать.
В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с прямыми, содержащими высоты, проведённые из двух вершин, и биссектрисой, проведённой из третьей вершины, после чего сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Решение:
Пусть описанная окружность пересекает биссектрису угла $C$ треугольника $ABC$ в точке $C_{0}$, а продолжения высот, проведённых из вершин $A$ и $B$ - в точках $A_{1}$ и $B_{1}$. Поскольку
$\angle A_{1}AC=\angle B_{1}BC=90^{\circ}-\angle ACB,$
точка $C$ - середина дуги $A_{1}B_{1}$, не содержащей точки $C_{0}$. Если $C_{1}$ - точка пересечения описанной окружности с продолжением третьей высоты, то аналогично докажем, что $A$ и $B$ - середины соответствующих дуг $B_{1}C_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
Точка $C_{0}$ - середина дуги $AB$, поэтому прямая $OC_{0}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и значит, параллельна высоте, проведённой из вершины $C$.
Отсюда вытекает следующее построение. Опишем окружность около треугольника $A_{1}B_{1}C_{0}$. Пусть $O$ - её центр. Построим середину $C$ дуги $A_{1}B_{1}$, не содержащей точки $C_{0}$. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $OC_{0}$. Пусть $C_{1}$ - отличная от $C$ точка пересечения этой прямой с описанной окружностью треугольника $A_{1}B_{1}C_{0}$. Точки $A$ и $B$ строим как середины дуг $B_{1}C_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
Докажем, что треугольник $ABC$ удовлетворяет условию задачи. Действительно, точки $A$, $B$ и $C$ - середины соответствующих дуг описанной окружности треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, значит, $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$- высоты треугольника $ABC$ (см. задачу 8123). Точка $C_{0}$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $C$, т.к. $OC_{0}\parallel CC_{1}$, а $CC_{1}\perp AB$. Следовательно, $CC_{0}$ - биссектриса угла $ACB$. Что и требовалось доказать.
