Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12954
2023-05-08 
В остроугольном треугольнике $ABC$ известно, что $H$- точка пересечения высот $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_1$, $O$ - центр описанной окружности, $O'$ - центр окружности, описанной около треугольника $AHC$. Докажите, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
Решение:
Воспользуемся следующими известными фактами:
1) $OB\perp A_{1}C_{1}$ (см. задачу 4271);
2) точки $O$ и $O'$ - симметричны относительно прямой $AC$;
3) расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ в два раза меньше длины отрезка $BH$ (см. задачу 4912).
Тогда из утверждений 2) и 3) следует, что $OO'=BH$ и $OO'\parallel BH$, т.е. $OO'HB$ - параллелограмм. Используя утверждение 1), получим, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ известно, что $H$- точка пересечения высот $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_1$, $O$ - центр описанной окружности, $O'$ - центр окружности, описанной около треугольника $AHC$. Докажите, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
Решение:
Воспользуемся следующими известными фактами:
1) $OB\perp A_{1}C_{1}$ (см. задачу 4271);
2) точки $O$ и $O'$ - симметричны относительно прямой $AC$;
3) расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ в два раза меньше длины отрезка $BH$ (см. задачу 4912).
Тогда из утверждений 2) и 3) следует, что $OO'=BH$ и $OO'\parallel BH$, т.е. $OO'HB$ - параллелограмм. Используя утверждение 1), получим, что $O'H\perp A_{1}C_{1}$.
