Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12961
2023-05-08 
На основании $AD$ и боковой стороне $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ соответственно так, что $CDEF$ - также равнобедренная трапеция. Докажите, что $AE\cdot ED=AF\cdot FB$.
Решение:
Первый способ. Обозначим $\angle FEA=\alpha$. Из условия следует, что
$\angle DCF=\angle CDA=\angle DAB=\angle FEA=\alpha.$
Тогда
$\angle BCF+\angle DCF=180^{\circ}-\angle CDA,~\mbox{или}~\angle BCF+\alpha=180^{\circ}-\alpha,$
откуда
$\angle BCF=180^{\circ}-2\alpha=\angle AFE.$
Значит,
$BF:ED=BF:FC=\sin\angle BCF:\sin\angle CFB=$
$=\sin2\alpha:\sin\alpha=\sin\angle AFE:\sin\angle FEA=AE:AF.$
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые $EF$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Тогда
$\angle FKC=\angle AEK=\angle CDA=\angle CFD=\angle KFC,$
поэтому равнобедренные треугольники $CFK$ и $FAE$ подобны, и
$CF:AF=FK:AE=FB:AE.$
Отсюда $DE\cdot AE=CF\cdot AE=FB\cdot AF$.
На основании $AD$ и боковой стороне $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ соответственно так, что $CDEF$ - также равнобедренная трапеция. Докажите, что $AE\cdot ED=AF\cdot FB$.
Решение:
Первый способ. Обозначим $\angle FEA=\alpha$. Из условия следует, что
$\angle DCF=\angle CDA=\angle DAB=\angle FEA=\alpha.$
Тогда
$\angle BCF+\angle DCF=180^{\circ}-\angle CDA,~\mbox{или}~\angle BCF+\alpha=180^{\circ}-\alpha,$
откуда
$\angle BCF=180^{\circ}-2\alpha=\angle AFE.$
Значит,
$BF:ED=BF:FC=\sin\angle BCF:\sin\angle CFB=$
$=\sin2\alpha:\sin\alpha=\sin\angle AFE:\sin\angle FEA=AE:AF.$
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые $EF$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Тогда
$\angle FKC=\angle AEK=\angle CDA=\angle CFD=\angle KFC,$
поэтому равнобедренные треугольники $CFK$ и $FAE$ подобны, и
$CF:AF=FK:AE=FB:AE.$
Отсюда $DE\cdot AE=CF\cdot AE=FB\cdot AF$.
