На окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежат точки $K$, $L$, $M$, отличные от его вершин. При этом $AK=AB$, $BL=BC$, $CM=CA$. Найдите углы треугольника $KLM$, если углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны соответственно $74^{\circ}$ и $38^{\circ}$.
Подробнее
Докажите, что противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны.
Подробнее
Окружность с центром в точке $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ также лежит на окружности $\omega$.
Подробнее
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая - на $\omega$.
Подробнее
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ - точка $E$ так, что $AC\parallel DE$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^{\circ}$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^{\circ}$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $PHD$, вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b$. Найдите его площадь.
Подробнее
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны. Определите площадь четырёхугольника, если известно, что перпендикуляр $BH$, опущенный на $AD$, равен 1.
Подробнее
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы $ABC$ и $CDE$ равны по $90^{\circ}$, а каждая из сторон $BC$, $CD$ и $AE$ равна 1 и сумма сторон $AB$ и $DE$ равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника $ABCDE$ равна 1.
Подробнее
Два одинаковых равносторонних треугольника расположены так, что в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что сумма длин трёх попарно несмежных сторон шестиугольника равна сумме длин трёх других его сторон.
Подробнее
Через точку $O$ внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось шесть треугольников, три из которых, через один заштриховали. Докажите, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка $O$ лежит на одной из медиан этого треугольника.
Подробнее
Два равных равнобедренных треугольника расположены на плоскости так, что вершина прямого угла каждого из них лежит на гипотенузе другого. Рассматривается четырёхугольник с вершинами, расположенными в вершинах острых углов этих треугольников. Докажите, что отрезок, соединяющий вершины прямых углов, делит площадь рассматриваемого четырёхугольника пополам.
Подробнее
Точки $M$ и $N$ расположены на сторонах соответственно $BC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$, а отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Известно, что треугольник $APC$ равновелик четырёхугольнику $BMPN$. Найдите угол $APC$.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{\circ}$, $AM$ и $CN$ - высоты, а $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.
Подробнее
