На плоскости даны точки $A$, $B$ и $C$. Найдите геометрическое место точек $M$ плоскости таких, что прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $CM$, пересекает отрезок $AB$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ выполняются равенства
$AB=BD,~\angle BAC=30^{\circ},~\angle BCA=31^{\circ},~\angle DBC=3^{\circ}.$
Найдите $\angle BDC$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $M$ - точка пересечения его диагоналей. Через точку $M$ проходит прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$, а окружности, описанные около треугольников $ABM$ и $CDM$, - в точках $P_{2}$ и $Q_{2}$. Докажите, что $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
Подробнее
Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $l$, пересекающая биссектрису угла $A$ в точке $K$, и описанную около треугольника $ABC$ окружность - в точке $M$. Обозначим через $Q$ центр описанной около треугольника $AKC$ окружности. Докажите, что при изменении прямой $l$ окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит фиксированную, отличную от $C$ точку. (Считаем, что $M$ отлична от $B$ и никакие из точек $Q$, $C$ и $M$ не совпадают.)
Подробнее
На плоскости изображён выпуклый девятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{9}$. Найдите сумму углов \"звёздочки\" $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}A_{9}A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если площади треугольников $ABD$, $ACD$ и $AED$ равны соответственно 10, 9 и 6.
Подробнее
На окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежат точки $K$, $L$, $M$, отличные от его вершин. При этом $AK=AB$, $BL=BC$, $CM=CA$. Найдите углы треугольника $KLM$, если углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны соответственно $74^{\circ}$ и $38^{\circ}$.
Подробнее
Докажите, что противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны.
Подробнее
Окружность с центром в точке $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ также лежит на окружности $\omega$.
Подробнее
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая - на $\omega$.
Подробнее
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ - точка $E$ так, что $AC\parallel DE$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^{\circ}$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^{\circ}$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $PHD$, вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b$. Найдите его площадь.
Подробнее
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны. Определите площадь четырёхугольника, если известно, что перпендикуляр $BH$, опущенный на $AD$, равен 1.
Подробнее
