Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12959
2023-05-08 
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Решение:
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, $H$ - точка пересечения высот. Указанная прямая проходит через центр $I$ вписанной окружности треугольника (см. задачу 7895). Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины $A$ и $B$. Поскольку $AI$ и $BI$ - биссектрисы углов $HAO$ и $HBO$ (см. задачу 8110), получаем, что
$AH:AO=HI:IO=BH:BO$
(см. задачу 5137), а т.к. $AO=BO$, то $AH=BH$, т.е. треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому указанная прямая проходит через вершину $C$. Следовательно, искомое отношение равно $1:1$.
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Решение:
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, $H$ - точка пересечения высот. Указанная прямая проходит через центр $I$ вписанной окружности треугольника (см. задачу 7895). Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины $A$ и $B$. Поскольку $AI$ и $BI$ - биссектрисы углов $HAO$ и $HBO$ (см. задачу 8110), получаем, что
$AH:AO=HI:IO=BH:BO$
(см. задачу 5137), а т.к. $AO=BO$, то $AH=BH$, т.е. треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому указанная прямая проходит через вершину $C$. Следовательно, искомое отношение равно $1:1$.
