Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12960
2023-05-08 
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности, $O'$ - центр окружности, проходящей через середины сторон $ABC$, $P$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$.
Поскольку вершины треугольника $ABC$ переходят в середины его сторон при гомотетии с центром $P$ и коэффициентом $-\frac{1}{2}$ (см. восьмой способ решения задачи @H1256), точка $P$ лежит на отрезке $OO'$ и делит его в отношении $OP:PO'=2:1$. Кроме того, т.к. геометрическое место середин хорд, проходящих через точку $M$, - это окружность с диаметром $OM$ (см. задачу @H2534), то геометрическое место точек $P$ - тоже окружность (см. задачу @H6410), получающаяся из неё гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $\frac{2}{3}$. Значит, геометрическое место точек $O'$ - тоже окружность.
Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон $ABC$, равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки $O'$ (если точка $M$ совпадает с $O$, одна из этих окружностей вырождается в точку).
Дана окружность, точка $A$ на ней и точка $M$ внутри неё. Рассматриваются хорды $BC$, проходящие через $M$. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников $ABC$, касаются некоторой фиксированной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности, $O'$ - центр окружности, проходящей через середины сторон $ABC$, $P$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$.
Поскольку вершины треугольника $ABC$ переходят в середины его сторон при гомотетии с центром $P$ и коэффициентом $-\frac{1}{2}$ (см. восьмой способ решения задачи @H1256), точка $P$ лежит на отрезке $OO'$ и делит его в отношении $OP:PO'=2:1$. Кроме того, т.к. геометрическое место середин хорд, проходящих через точку $M$, - это окружность с диаметром $OM$ (см. задачу @H2534), то геометрическое место точек $P$ - тоже окружность (см. задачу @H6410), получающаяся из неё гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $\frac{2}{3}$. Значит, геометрическое место точек $O'$ - тоже окружность.
Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон $ABC$, равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки $O'$ (если точка $M$ совпадает с $O$, одна из этих окружностей вырождается в точку).
