Три окружности проходят через точку $P$, а вторые точки их пересечения $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - вторые точки пересечения прямых $AP$, $BP$, $CP$ с соответствующими окружностями; $C_{2}$ - точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $BA_{1}$; $A_{2}$, $B_{2}$ определяются аналогично. Докажите, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ равны.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точки $P$ и $Q$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $\angle DAQ=\angle CAB$, то $\angle PBA=\angle DBC$.
Подробнее
В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с прямыми, содержащими высоты, проведённые из двух вершин, и биссектрисой, проведённой из третьей вершины, после чего сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Подробнее
Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.
Подробнее
В прямоугольную трапецию $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ и острым углом при вершине $D$ вписана окружность с центром $O$. Прямая $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а прямая $CO$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle AMO=\angle DKO$.
б) Найдите площадь треугольника $AOM$, если $BC=5$ и $AD=20$.
Подробнее
В шестиугольнике $ABCDEF$ известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$ и $\angle A=\angle C=\angle E$. Докажите, что диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Подробнее
Точки $A'$, $B'$, $C'$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BB'$ пересекает прямую $A'C'$ в точках $K$ и $L$ (точки $K$ и $A$ лежат по одну сторону от $BB'$). Докажите, что точка пересечения прямых $AK$ и $CL$ лежит на прямой $BO$, где $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Подробнее
Медианы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, причём $\angle AMB=120^{\circ}$. Докажите, что углы $AB'M$ и $BA'M$ не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Подробнее
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AB$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Прямая $KM$ вторично пересекает в точке $P$ окружность радиуса $AM$ с центром $A$.
а) Докажите, что $AP\parallel BC$.
б) Пусть $Q$ - точка пересечения прямых $KM$ и $AB$, а $T$ - такая точка на отрезке $PQ$, что $\angle OAT=45^{\circ}$ Найдите $QT$, если $\angle ABC=90^{\circ}$, $AM=3$, $CM=2$.
Подробнее
Постройте квадрат $ABCD$, если даны его вершина $A$ и расстояния от вершин $B$ и $D$ до фиксированной точки $O$ плоскости.
Подробнее
На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке $A$. Пусть $B$ - произвольная точка одной из этих окружностей, $C$ - другой. Для каждого треугольника $ABC$ рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке $K$, причём одна окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, а другая - прямой $AC$ в точке $C$. Найдите геометрическое место точек $K$.
Подробнее
В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$.
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$, а основания равны 5 и 7.
Подробнее
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные $AC$ и $BC$. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями треугольника $ABC$.
Подробнее
