Точки $A'$, $B'$, $C'$ - основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BB'$ пересекает прямую $A'C'$ в точках $K$ и $L$ (точки $K$ и $A$ лежат по одну сторону от $BB'$). Докажите, что точка пересечения прямых $AK$ и $CL$ лежит на прямой $BO$, где $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Подробнее
Медианы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, причём $\angle AMB=120^{\circ}$. Докажите, что углы $AB'M$ и $BA'M$ не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Подробнее
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AB$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Прямая $KM$ вторично пересекает в точке $P$ окружность радиуса $AM$ с центром $A$.
а) Докажите, что $AP\parallel BC$.
б) Пусть $Q$ - точка пересечения прямых $KM$ и $AB$, а $T$ - такая точка на отрезке $PQ$, что $\angle OAT=45^{\circ}$ Найдите $QT$, если $\angle ABC=90^{\circ}$, $AM=3$, $CM=2$.
Подробнее
Постройте квадрат $ABCD$, если даны его вершина $A$ и расстояния от вершин $B$ и $D$ до фиксированной точки $O$ плоскости.
Подробнее
На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке $A$. Пусть $B$ - произвольная точка одной из этих окружностей, $C$ - другой. Для каждого треугольника $ABC$ рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке $K$, причём одна окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, а другая - прямой $AC$ в точке $C$. Найдите геометрическое место точек $K$.
Подробнее
В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$.
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$, а основания равны 5 и 7.
Подробнее
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные $AC$ и $BC$. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями треугольника $ABC$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$. Вневписанная окружность касается его стороны $BC$ в точке $A_{1}$. Другая вневписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $B_{1}$. Отрезки $AA_{1}$ и $BB_{1}$ пересекаются в точке $N$. На луче $AA_{1}$ отметили такую точку $P$, что $AP=NA_{1}$. Докажите, что точка $P$ лежит на вписанной в треугольник окружности.
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB=a$, $AD=b$. Первая окружность имеет центр в вершине $A$ и проходит через вершину $D$, вторая имеет центр в вершине $C$ и проходит через вершину $D$. Произвольная окружность с центром $B$ пересекает первую окружность в точках $M_{1}$ и $N_{1}$, а вторую - в точках $M_{2}$ и $N_{2}$. Чему равно отношение $M_{1}N_{1}:M_{2}N_{2}$?
Подробнее
Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n+1}$ - правильный многоугольник с нечётным числом сторон, $M$ - произвольная точка на дуге $A_{1}A_{2n+1}$ окружности $S$, описанной около многоугольника, $l_{i}$ - длина касательной, проведённой из точки $M$ к окружности радиуса $r$, касающейся $S$ в точке $A_{i}$, причём все касания одновременно внешние или внутренние. Докажите, что сумма $l_{i}$ с нечётными номерами равна сумме $l_{i}$ с чётными номерами.
Подробнее
Пусть $a$, $b$, $c$ - длины сторон произвольного треугольника; $p$ - полупериметр; $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
$\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geq6r.$
Подробнее
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ равны $R$ и $r$ соответственно; $O$ и $I$ - центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Точка $Q$ - проекция точки $P$ на прямую $OI$. Найдите расстояние $OQ$.
Подробнее
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей - вписанные четырёхугольники, причём радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть - четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Подробнее
