Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12964
2023-05-08 
Три окружности проходят через точку $P$, а вторые точки их пересечения $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - вторые точки пересечения прямых $AP$, $BP$, $CP$ с соответствующими окружностями; $C_{2}$ - точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $BA_{1}$; $A_{2}$, $B_{2}$ определяются аналогично. Докажите, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ равны.
Решение:
Поскольку четырёхугольники $PAB_{1}C$ и $PBAC_{1}$ вписанные,
$\angle CAC_{2}=\angle CAB_{1}=\angle CPB_{1}=\angle BAC_{1}.$
Аналогично $\angle ABC_{2}=\angle ABC_{1}$, т.е. точки $C_{1}$ и $C_{2}$ симметричны относительно прямой $AB$. Повторив это рассуждение для двух других пар точек, получим, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ симметричны относительно этой прямой и, следовательно, равны.
Три окружности проходят через точку $P$, а вторые точки их пересечения $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - вторые точки пересечения прямых $AP$, $BP$, $CP$ с соответствующими окружностями; $C_{2}$ - точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $BA_{1}$; $A_{2}$, $B_{2}$ определяются аналогично. Докажите, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ равны.
Решение:
Поскольку четырёхугольники $PAB_{1}C$ и $PBAC_{1}$ вписанные,
$\angle CAC_{2}=\angle CAB_{1}=\angle CPB_{1}=\angle BAC_{1}.$
Аналогично $\angle ABC_{2}=\angle ABC_{1}$, т.е. точки $C_{1}$ и $C_{2}$ симметричны относительно прямой $AB$. Повторив это рассуждение для двух других пар точек, получим, что треугольники $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ симметричны относительно этой прямой и, следовательно, равны.
