Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12957
2023-05-08 
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, проведённая через точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Решение:
Пусть $O$ - центр внешней окружности, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры внутренних окружностей, $A$ и $B$ - точки касания.
Проведём через $O_{1}$ прямую, параллельную $OB$, а через $O_{2}$ - прямую, параллельную $OA$. Поскольку $O_{1}O=O_{2}B$ и $O_{2}O=O_{1}A$, то по теореме о пропорциональных отрезках эти прямые пересекутся в точке $C$, лежащей на отрезке $AB$. При этом $O_{1}C=O_{1}A$ и $O_{2}C=O_{2}B$, следовательно, точка $C$ принадлежит обеим внутренним окружностям.
Дана окружность радиуса $R$. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна $R$, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, проведённая через точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Решение:
Пусть $O$ - центр внешней окружности, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры внутренних окружностей, $A$ и $B$ - точки касания.
Проведём через $O_{1}$ прямую, параллельную $OB$, а через $O_{2}$ - прямую, параллельную $OA$. Поскольку $O_{1}O=O_{2}B$ и $O_{2}O=O_{1}A$, то по теореме о пропорциональных отрезках эти прямые пересекутся в точке $C$, лежащей на отрезке $AB$. При этом $O_{1}C=O_{1}A$ и $O_{2}C=O_{2}B$, следовательно, точка $C$ принадлежит обеим внутренним окружностям.
