Точка $K$ - середина медианы $BM$ треугольника $ABC$. Точка $E$ - середина отрезка $CK$. Найдите сторону $AC$, если $AB=3$, $BC=4$, а $AE\perp BM$.
Подробнее
На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $AN=MN$ и $\angle BAM=\angle NAC$ (см. рисунок). Докажите, что $\angle MAC=60^{\circ}$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов $ABD$ и $BDC$ равняется $180^{\circ}$, а стороны $AD$ и $BC$ равны. Докажите, что углы при вершинах $A$ и $C$ такого четырёхугольника равны.
Подробнее
Два взаимно перпендикулярных отрезка разделили квадрат на четыре четырёхугольника. Докажите, что сумма периметров любых двух несоседних из них равна сумме периметров двух других.
Подробнее
Координаты вершин равнобедренного треугольника - целые числа. Докажите, что квадрат основания треугольника - чётное число.
Подробнее
Каждая из трёх прямых, проходящих через середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Подробнее
Точка $Q$ расположена внутри остроугольного треугольника $ABC$. Известно, что
$\angle QAC\geq\angle QAB,~\angle QBA\geq\angle QBC,~\angle QCB\geq\angle QCA.$
Докажите, что $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ которой лежит внутри него. Докажите, что, если $\angle BAO=\angle DAC$, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Подробнее
Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше чем $135^{\circ}$.
Подробнее
В окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Подробнее
Точки $X$ и $Z$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$, лежащих внутри угла с вершиной $O$, на одну сторону угла, а точки $Y$ и $T$ - на другую. При этом $PX:PY=QZ:QT$. Докажите, что точки $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной прямой.
Подробнее
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон четырёхугольника пропорциональны этим сторонам. Докажите, что $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Подробнее
Пусть окружность с центром $I$ касается катетов $AC$, $BC$ и гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно, $H$ - точка пересечения высот $KK_{1}$, $LL_{1}$ и $MM_{1}$ треугольника $KLM$, а $F$ и $G$ - точки пересечения лучей соответственно $CL_{1}$ и $CK_{1}$ с гипотенузой $AB$. Докажите, что:
а) точки $A$, $I$ и $K_{1}$ лежат на одной прямой;
б) отрезок $K_{1}L_{1}$ лежит на средней линии треугольника $ABC$;
в) $\angle CL_{1}B=\angle CK_{1}A=90^{\circ}$;
г) отрезок $FG$ - проекция вписанной окружности треугольника $ABC$ на гипотенузу $AB$.
д) середина $O$ гипотенузы $AB$ лежит на прямой $HI$;
e) точка $H$ лежит на отрезке, соединяющем основания биссектрис треугольника $ABC$, проведённых из вершин $A$ и $B$.
Подробнее
Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_{0}=A,B_{1},B_{2},\dots,B_{n}=B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n+1$ равных частей (точки деления $C_{0}=A,C_{1},C_{2},\dots,C_{n+1}=C$). Закрасили треугольники $C_{i}B_{i}C_{i+1}$. Какая часть площади треугольника закрашена?
Подробнее
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата, до произвольной точки вписанной в него, постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона квадрата равна $2a$?
Подробнее
