В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ углы $ABC$ и $CDE$ равны по $90^{\circ}$, а каждая из сторон $BC$, $CD$ и $AE$ равна 1 и сумма сторон $AB$ и $DE$ равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника $ABCDE$ равна 1.
Подробнее
Два одинаковых равносторонних треугольника расположены так, что в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что сумма длин трёх попарно несмежных сторон шестиугольника равна сумме длин трёх других его сторон.
Подробнее
Через точку $O$ внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось шесть треугольников, три из которых, через один заштриховали. Докажите, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка $O$ лежит на одной из медиан этого треугольника.
Подробнее
Два равных равнобедренных треугольника расположены на плоскости так, что вершина прямого угла каждого из них лежит на гипотенузе другого. Рассматривается четырёхугольник с вершинами, расположенными в вершинах острых углов этих треугольников. Докажите, что отрезок, соединяющий вершины прямых углов, делит площадь рассматриваемого четырёхугольника пополам.
Подробнее
Точки $M$ и $N$ расположены на сторонах соответственно $BC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$, а отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Известно, что треугольник $APC$ равновелик четырёхугольнику $BMPN$. Найдите угол $APC$.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{\circ}$, $AM$ и $CN$ - высоты, а $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.
Подробнее
Точка $K$ - середина медианы $BM$ треугольника $ABC$. Точка $E$ - середина отрезка $CK$. Найдите сторону $AC$, если $AB=3$, $BC=4$, а $AE\perp BM$.
Подробнее
На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $AN=MN$ и $\angle BAM=\angle NAC$ (см. рисунок). Докажите, что $\angle MAC=60^{\circ}$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов $ABD$ и $BDC$ равняется $180^{\circ}$, а стороны $AD$ и $BC$ равны. Докажите, что углы при вершинах $A$ и $C$ такого четырёхугольника равны.
Подробнее
Два взаимно перпендикулярных отрезка разделили квадрат на четыре четырёхугольника. Докажите, что сумма периметров любых двух несоседних из них равна сумме периметров двух других.
Подробнее
Координаты вершин равнобедренного треугольника - целые числа. Докажите, что квадрат основания треугольника - чётное число.
Подробнее
Каждая из трёх прямых, проходящих через середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Подробнее
Точка $Q$ расположена внутри остроугольного треугольника $ABC$. Известно, что
$\angle QAC\geq\angle QAB,~\angle QBA\geq\angle QBC,~\angle QCB\geq\angle QCA.$
Докажите, что $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ которой лежит внутри него. Докажите, что, если $\angle BAO=\angle DAC$, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Подробнее
Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше чем $135^{\circ}$.
Подробнее
