Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12958
2023-05-08 
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$; $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей; $X$ и $Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA$ и $PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Решение:
Рассмотрим случай, когда точка $P$ лежит внутри второй окружности.
Пусть $Q$ - точка пересечения прямой, проходящей через $P$ перпендикулярно $AB$, лежащая вне первой окружности. Тогда (см. задачу 8116)
$\angle QPX=\frac{\breve{ QX}+\breve{ AP}}{2},~\angle QPY=\frac{\breve{ QY} +\breve{ BP}}{2}.$
Вычитая из первого равенства второе, получим, что
$\frac{\breve{ QX}-\breve{ QY}}{2}+\frac{\breve{ AP}-\breve{ BP}}{2}=\angle QPX-\angle QPY=(90^{\circ}-\angle PAB)-(90^{\circ}-\angle PBA)=\angle PBA-\angle PAB=\frac{1}{2}\breve{ AP} -\frac{1}{2}\breve{ BP}=\frac{\breve{ AP}-\breve{ BP}}{2},$
откуда $\breve{ QX}=\breve{ QY}$.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Две равные окружности пересекаются в точках $A$ и $B$; $P$ - отличная от $A$ и $B$ точка одной из окружностей; $X$ и $Y$ - вторые точки пересечения прямых $PA$ и $PB$ с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $AB$, делит одну из дуг $XY$ пополам.
Решение:
Рассмотрим случай, когда точка $P$ лежит внутри второй окружности.
Пусть $Q$ - точка пересечения прямой, проходящей через $P$ перпендикулярно $AB$, лежащая вне первой окружности. Тогда (см. задачу 8116)
$\angle QPX=\frac{\breve{ QX}+\breve{ AP}}{2},~\angle QPY=\frac{\breve{ QY} +\breve{ BP}}{2}.$
Вычитая из первого равенства второе, получим, что
$\frac{\breve{ QX}-\breve{ QY}}{2}+\frac{\breve{ AP}-\breve{ BP}}{2}=\angle QPX-\angle QPY=(90^{\circ}-\angle PAB)-(90^{\circ}-\angle PBA)=\angle PBA-\angle PAB=\frac{1}{2}\breve{ AP} -\frac{1}{2}\breve{ BP}=\frac{\breve{ AP}-\breve{ BP}}{2},$
откуда $\breve{ QX}=\breve{ QY}$.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
