Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12969
2023-05-08 
В шестиугольнике $ABCDEF$ известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$ и $\angle A=\angle C=\angle E$. Докажите, что диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Решение:
Из условия следует, что биссектрисы углов $B$, $D$ и $F$ являются серединными перпендикулярами к отрезкам $AC$, $CE$ и $EA$, значит, эти биссектрисы пересекаются в центре $O$ описанной окружности треугольника $ACE$. Из осевых симметрий относительно прямых $BO$, $DO$ и $FO$ следуют равенства
$\angle BAO=\angle BCO,~\angle DCO=\angle DEO,~\angle FAO=\angle FEO.$
Кроме того,
$\angle BAO+\angle FAO=\angle A=\angle C=\angle BCO+\angle DCO,$
значит, $\angle FAO=\angle DCO$.
Аналогично, $\angle BCO=\angle FEO$, значит, эти шесть углов между собой равны. Следовательно, $AO$, $CO$ и $EO$ - также являются биссектрисами углов данного шестиугольника, т.е. $O$ - центр вписанной в него окружности. По теореме Брианшона (см. задачу 9528) диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, пересекаются в одной точке.
В шестиугольнике $ABCDEF$ известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$ и $\angle A=\angle C=\angle E$. Докажите, что диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Решение:
Из условия следует, что биссектрисы углов $B$, $D$ и $F$ являются серединными перпендикулярами к отрезкам $AC$, $CE$ и $EA$, значит, эти биссектрисы пересекаются в центре $O$ описанной окружности треугольника $ACE$. Из осевых симметрий относительно прямых $BO$, $DO$ и $FO$ следуют равенства
$\angle BAO=\angle BCO,~\angle DCO=\angle DEO,~\angle FAO=\angle FEO.$
Кроме того,
$\angle BAO+\angle FAO=\angle A=\angle C=\angle BCO+\angle DCO,$
значит, $\angle FAO=\angle DCO$.
Аналогично, $\angle BCO=\angle FEO$, значит, эти шесть углов между собой равны. Следовательно, $AO$, $CO$ и $EO$ - также являются биссектрисами углов данного шестиугольника, т.е. $O$ - центр вписанной в него окружности. По теореме Брианшона (см. задачу 9528) диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, пересекаются в одной точке.
