Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12956
2023-05-08 
Дан параллелограмм $ABCD$. Две окружности с центрами в вершинах $A$ и $C$ проходят через вершину $D$. Прямая $l$ проходит через точку $D$ и вторично пересекает окружности в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BX=BY$.
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Имеем
$AX=AD=BC,~CY=CD=AB.$
Кроме того,
$\angle BCY=\angle C-\angle DCY=\angle C-(180^{\circ}-2\angle CDY)=2\angle CDY-\angle D=\angle CDY-\angle ADX,$
$\angle BAX=\angle DAX-\angle A=180^{\circ}-2\angle ADX-\angle A=\angle D-2\angle ADX=\angle CDY-\angle ADX.$
Значит, треугольники $ABX$ и $CYB$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $BX=BY$.
Другие случаи расположения точек $X$ и $Y$ рассматриваются аналогично.
Дан параллелограмм $ABCD$. Две окружности с центрами в вершинах $A$ и $C$ проходят через вершину $D$. Прямая $l$ проходит через точку $D$ и вторично пересекает окружности в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BX=BY$.
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Имеем
$AX=AD=BC,~CY=CD=AB.$
Кроме того,
$\angle BCY=\angle C-\angle DCY=\angle C-(180^{\circ}-2\angle CDY)=2\angle CDY-\angle D=\angle CDY-\angle ADX,$
$\angle BAX=\angle DAX-\angle A=180^{\circ}-2\angle ADX-\angle A=\angle D-2\angle ADX=\angle CDY-\angle ADX.$
Значит, треугольники $ABX$ и $CYB$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $BX=BY$.
Другие случаи расположения точек $X$ и $Y$ рассматриваются аналогично.
