2023-05-08
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, причём точка $B$ лежит на отрезке $OC$ и $A$ - на отрезке $OD$; $I$ - центр вписанной окружности треугольника $OAB$, $J$ - центр вневписанной окружности треугольника $OCD$, касающейся стороны $CD$ и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка $IJ$ на прямые $BC$ и $AD$, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках $X$ и $Y$. Докажите, что отрезок $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на $BC$ и $AD$ отрезок $XY$ имеет наименьшую длину.
Решение:
Пусть $M$ - середина отрезка $IJ$, $X$ и $Y$ лежат на сторонах соответственно $AD$ и $BC$ данного четырёхугольника $ABCD$, $K$ и $E$ - точки касания вписанной окружности треугольника $OAB$ с отрезками $OA$ и $OB$ соответственно, $F$ и $L$ - точки касания вневписанной окружности треугольника $COD$ с прямыми $OC$ и $OD$ соответственно.
Тогда $X$ и $Y$ - середины отрезков $KL$ и $EF$, а
$AK+BE=AB~\mbox{и}~CF+DL=CD.$
Значит,
$AB+AX+BY=(AK+BE)+(AX+BY)=(AK+AX)+(BE+BY)=KX+EY=LX+FY=(DL+DX)+(CF+CY)=(DL+CF)+DX+CY=CD+DX+CY,$
т.е. прямая $XY$ делит периметр четырёхугольника $ABCD$ пополам.
Пусть точки $X'$ и $Y'$ на сторонах соответственно $AD$ и $BC$ таковы, что отрезок $X'Y'$ тоже делит периметр данного четырёхугольника $ABCD$ пополам. Тогда $XX'=YY'$, значит, прямоугольные треугольники $MXX'$ и $MYY'$ равны по двум катетам, поэтому $MX'=MY'$, и равнобедренные треугольники $MXY$ и $MX'Y'$ подобны по двум углам. Следовательно, $X'Y'$ минимально, когда минимально $MX'$, т.е. когда $X'$ совпадает с $X$. Аналогично, точка $Y'$ совпадает $Y$.