Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12933
2023-05-08 
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{\circ}$, $AM$ и $CN$ - высоты, а $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.
Решение:
Первый способ. Из точек $M$ и $N$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AC$. Середина $Q$ стороны $AC$ - центр этой окружности, $QM=QN$ - радиусы, а центральный угол $MQN$ вдвое больше вписанного угла $MAN$. Значит,
$\angle MQN=2\angle MAN=2\angle BAM=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.$
Следовательно, треугольник $MNQ$ равносторонний.
Второй способ. Отрезки $QM$ и $QN$ - медианы прямоугольных треугольников $AMC$ и $ANC$, проведённые к общей гипотенузе $AC$, поэтому $QM=QN=\frac{1}{2}AC$ (см. задачу 4775).
Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\cos\angle B=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$ (см. задачу 8109), значит, $MN=\frac{1}{2}AC$. Следовательно, треугольник $MNQ$ равносторонний.
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{\circ}$, $AM$ и $CN$ - высоты, а $Q$ - середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.
Решение:
Первый способ. Из точек $M$ и $N$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AC$. Середина $Q$ стороны $AC$ - центр этой окружности, $QM=QN$ - радиусы, а центральный угол $MQN$ вдвое больше вписанного угла $MAN$. Значит,
$\angle MQN=2\angle MAN=2\angle BAM=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.$
Следовательно, треугольник $MNQ$ равносторонний.
Второй способ. Отрезки $QM$ и $QN$ - медианы прямоугольных треугольников $AMC$ и $ANC$, проведённые к общей гипотенузе $AC$, поэтому $QM=QN=\frac{1}{2}AC$ (см. задачу 4775).
Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\cos\angle B=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$ (см. задачу 8109), значит, $MN=\frac{1}{2}AC$. Следовательно, треугольник $MNQ$ равносторонний.
