Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12925
2023-05-08 
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Решение:
Обозначим вершины так, как показано на рисунке. Заметим, что
$OA=OX,~OB=OY,~\angle AOB+\angle XOY=360^{\circ}-60^{\circ}-120^{\circ}=180^{\circ},$
откуда $\cos\angle XOY=-\cos\angle AOB$.
Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной $t$ равна $\frac{t^{2}\sqrt{3}}{4}$, достаточно доказать, что
$AB^{2}+XY^{2}=2(AO^{2}+BO^{2}).$
По теореме косинусов для треугольников $ABO$ и $XYO$ получаем, что
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos\angle AOB,$
$XY^{2}=OX^{2}+OY^{2}-2OX\cdot OY\cos\angle XOY.$
Складывая эти два равенства, получаем требуемое.
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Решение:
Обозначим вершины так, как показано на рисунке. Заметим, что
$OA=OX,~OB=OY,~\angle AOB+\angle XOY=360^{\circ}-60^{\circ}-120^{\circ}=180^{\circ},$
откуда $\cos\angle XOY=-\cos\angle AOB$.
Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной $t$ равна $\frac{t^{2}\sqrt{3}}{4}$, достаточно доказать, что
$AB^{2}+XY^{2}=2(AO^{2}+BO^{2}).$
По теореме косинусов для треугольников $ABO$ и $XYO$ получаем, что
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos\angle AOB,$
$XY^{2}=OX^{2}+OY^{2}-2OX\cdot OY\cos\angle XOY.$
Складывая эти два равенства, получаем требуемое.
