ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-05-08   
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ - точка $E$ так, что $AC\parallel DE$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^{\circ}$.


Решение:


Четырёхугольник $ABCQ$ вписанный и $AC\parallel DE$, поэтому

$\angle BEX=\angle BCA=\angle BQA=\angle BQX.$

Из точек $E$ и $Q$, лежащих по одну сторону от прямой $BX$, отрезок $BX$ виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник $XBEQ$ - также вписанный. Следовательно,

$\angle XBQ=\angle XEQ=\angle DEQ.$

Аналогично докажем, что четырёхугольник $YBDP$ вписанный и $\angle PBY=\angle PDE$.
По условию задачи $PD\parallel EQ$, значит,

$180^{\circ}=\angle PDE+\angle DEQ=\angle PBY+\angle XBQ.$

Таким образом,

$\angle XBY+\angle PBQ=\angle XBP+2\angle PBQ+\angle QBY=\angle XBQ+\angle PBY=180^{\circ}.$