Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12924
2023-05-08 
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b$. Найдите его площадь.
Решение:
Пусть $b\gt a$.
Первый способ. Обозначим длину двух равных сторон через $x$. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через $y$ и $z$ (рис.1).
Площадь $S$ исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами $x+y$ и $x+z$ и с катетами $y$ и $z$. Поэтому
$2S=(x+y)(x+z)-yz=x^{2}+xy+xz.$
По теореме Пифагора
$y^{2}+z^{2}=a^{2},~(x+y)^{2}+(x+z)^{2}=b^{2},$
поэтому
$b^{2}-a^{2}=2x^{2}+2xy+2xz=4S.$
Второй способ. Из четырёх таких четырёхугольников можно сложить квадрат со стороной $b$, из которого вырезан квадрат со стороной $a$ (рис.2). Поэтому площадь одного четырёхугольника равна $\frac{1}{4}(b^{2}-a^{2})$.
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны $a$ и $b$. Найдите его площадь.
Решение:
Пусть $b\gt a$.
Первый способ. Обозначим длину двух равных сторон через $x$. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через $y$ и $z$ (рис.1).
Площадь $S$ исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами $x+y$ и $x+z$ и с катетами $y$ и $z$. Поэтому
$2S=(x+y)(x+z)-yz=x^{2}+xy+xz.$
По теореме Пифагора
$y^{2}+z^{2}=a^{2},~(x+y)^{2}+(x+z)^{2}=b^{2},$
поэтому
$b^{2}-a^{2}=2x^{2}+2xy+2xz=4S.$
Второй способ. Из четырёх таких четырёхугольников можно сложить квадрат со стороной $b$, из которого вырезан квадрат со стороной $a$ (рис.2). Поэтому площадь одного четырёхугольника равна $\frac{1}{4}(b^{2}-a^{2})$.
