Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12932
2023-05-08 
Точки $M$ и $N$ расположены на сторонах соответственно $BC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$, а отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Известно, что треугольник $APC$ равновелик четырёхугольнику $BMPN$. Найдите угол $APC$.
Решение:
Треугольники $AMC$ и $CNB$ равновелики, а т.к. $AC=BC$ и $\angle ACM=\angle CBN$, то они равны по двум сторонам и углу между ними (из равенства
$\frac{1}{2}AC\cdot CM\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}BC\cdot BN\sin60^{\circ}$
следует, что $CM=BN$).
Обозначим $\angle AMC=\angle CNB=\alpha$. Тогда
$\angle CAM=\angle BCN=120^{\circ}-\alpha.$
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle APC=\angle AMC+\angle BCN=\alpha+(120^{\circ}-\alpha)=120^{\circ}.$
Точки $M$ и $N$ расположены на сторонах соответственно $BC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$, а отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Известно, что треугольник $APC$ равновелик четырёхугольнику $BMPN$. Найдите угол $APC$.
Решение:
Треугольники $AMC$ и $CNB$ равновелики, а т.к. $AC=BC$ и $\angle ACM=\angle CBN$, то они равны по двум сторонам и углу между ними (из равенства
$\frac{1}{2}AC\cdot CM\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}BC\cdot BN\sin60^{\circ}$
следует, что $CM=BN$).
Обозначим $\angle AMC=\angle CNB=\alpha$. Тогда
$\angle CAM=\angle BCN=120^{\circ}-\alpha.$
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
$\angle APC=\angle AMC+\angle BCN=\alpha+(120^{\circ}-\alpha)=120^{\circ}.$
