Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12919
2023-05-08 
Окружность с центром в точке $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ также лежит на окружности $\omega$.
Решение:
Четырёхугольник $AICP$ вписан в окружность $\omega$, поэтому
$\angle DCI=\angle PCI=180^{\circ}-\angle PAI=\angle BAI=\angle QAI$
($AI$ - биссектриса угла $BAQ$). С другой стороны,
$\angle DCI=\angle BCI=180^{\circ}-\angle QCI.$
Из равенства $\angle QAI=180^{\circ}-\angle QCI$ получаем, что четырёхугольник $AQCI$ также вписан в окружность $\omega$, т.е. точка $Q$ лежит на $\omega$.
Окружность с центром в точке $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ также лежит на окружности $\omega$.
Решение:
Четырёхугольник $AICP$ вписан в окружность $\omega$, поэтому
$\angle DCI=\angle PCI=180^{\circ}-\angle PAI=\angle BAI=\angle QAI$
($AI$ - биссектриса угла $BAQ$). С другой стороны,
$\angle DCI=\angle BCI=180^{\circ}-\angle QCI.$
Из равенства $\angle QAI=180^{\circ}-\angle QCI$ получаем, что четырёхугольник $AQCI$ также вписан в окружность $\omega$, т.е. точка $Q$ лежит на $\omega$.
