Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10508
2023-02-18 
На окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежат точки $K$, $L$, $M$, отличные от его вершин. При этом $AK=AB$, $BL=BC$, $CM=CA$. Найдите углы треугольника $KLM$, если углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны соответственно $74^{\circ}$ и $38^{\circ}$.
Решение:
Заметим, что точки $K$, $L$ и $M$ лежат на дугах $BCA$, $BAC$ и $ABC$ соответственно (см. рисунок).
Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую он опирается, поэтому
$\breve{ BMC} = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot74^{\circ},~\breve{ ALC} =2\cdot \angle ABC=2\cdot 38^{\circ}.$
Тогда градусная мера дуги $AB$, не содержащей точки $C$, равна
$\breve{ AB} =2\cdot 180^{\circ}-2\cdot 74^{\circ}-2\cdot 38^{\circ}=2\cdot 68^{\circ}.$
Из равенства хорд $AB$ и $AK$ следует, что
$\breve{ ACK} =\breve{ AB}=2\cdot68^{\circ},$
значит, градусная мера дуги $CK$, не содержащей точки $A$, равна
$\breve{CK} =\breve{ ACK}-\breve{ ALC}=2\cdot68^{\circ}-2 \cdot 38^{\circ}=2\cdot30^{\circ},$
а т.к. равны хорды $MC$ и $AC$, то градусная мера дуги $MC$, не содержащей точки $A$, равна градусной мере дуги $ALC$. Тогда градусная мера дуги $MK$, не содержащей точки $A$, равна
$\breve{ MK}=\breve{ MKC}-\breve{ CK} =\breve{ ALC}-\breve{ CK}=2\cdot38^{\circ}-2\cdot30^{\circ}=2\cdot8^{\circ}.$
Следовательно, $\angle MLK=8^{\circ}$.
Из равенства хорд $BC$ и $BL$ следует, что
$\breve{ BAL} =\breve{ BMC}=2\cdot74^{\circ}.$
Тогда градусная мера дуги $AL$, не содержащей точки $B$, равна
$\breve{ AL} =\breve{ BAL} -\breve{ AB}=2\cdot74^{\circ}-2\cdot68^{\circ}=2\cdot6^{\circ},$
значит,
$\breve{ LCK} =\breve{ ACK} -\breve{AL} =2\cdot68^{\circ}-2\cdot6^{\circ}=2\cdot62^{\circ}.$
Следовательно, $\angle KLM=62^{\circ}$, а
$\angle LKM=180^{\circ}-62^{\circ}-8^{\circ}=110^{\circ}.$
На окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежат точки $K$, $L$, $M$, отличные от его вершин. При этом $AK=AB$, $BL=BC$, $CM=CA$. Найдите углы треугольника $KLM$, если углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны соответственно $74^{\circ}$ и $38^{\circ}$.
Решение:
Заметим, что точки $K$, $L$ и $M$ лежат на дугах $BCA$, $BAC$ и $ABC$ соответственно (см. рисунок).
Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую он опирается, поэтому
$\breve{ BMC} = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot74^{\circ},~\breve{ ALC} =2\cdot \angle ABC=2\cdot 38^{\circ}.$
Тогда градусная мера дуги $AB$, не содержащей точки $C$, равна
$\breve{ AB} =2\cdot 180^{\circ}-2\cdot 74^{\circ}-2\cdot 38^{\circ}=2\cdot 68^{\circ}.$
Из равенства хорд $AB$ и $AK$ следует, что
$\breve{ ACK} =\breve{ AB}=2\cdot68^{\circ},$
значит, градусная мера дуги $CK$, не содержащей точки $A$, равна
$\breve{CK} =\breve{ ACK}-\breve{ ALC}=2\cdot68^{\circ}-2 \cdot 38^{\circ}=2\cdot30^{\circ},$
а т.к. равны хорды $MC$ и $AC$, то градусная мера дуги $MC$, не содержащей точки $A$, равна градусной мере дуги $ALC$. Тогда градусная мера дуги $MK$, не содержащей точки $A$, равна
$\breve{ MK}=\breve{ MKC}-\breve{ CK} =\breve{ ALC}-\breve{ CK}=2\cdot38^{\circ}-2\cdot30^{\circ}=2\cdot8^{\circ}.$
Следовательно, $\angle MLK=8^{\circ}$.
Из равенства хорд $BC$ и $BL$ следует, что
$\breve{ BAL} =\breve{ BMC}=2\cdot74^{\circ}.$
Тогда градусная мера дуги $AL$, не содержащей точки $B$, равна
$\breve{ AL} =\breve{ BAL} -\breve{ AB}=2\cdot74^{\circ}-2\cdot68^{\circ}=2\cdot6^{\circ},$
значит,
$\breve{ LCK} =\breve{ ACK} -\breve{AL} =2\cdot68^{\circ}-2\cdot6^{\circ}=2\cdot62^{\circ}.$
Следовательно, $\angle KLM=62^{\circ}$, а
$\angle LKM=180^{\circ}-62^{\circ}-8^{\circ}=110^{\circ}.$
