Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12926
2023-05-08 
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны. Определите площадь четырёхугольника, если известно, что перпендикуляр $BH$, опущенный на $AD$, равен 1.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим поворот вокруг точки $B$, при котором точка $A$ переходит в $C$. Если при этом точка $H$ переходит в $H_{1}$, то треугольник $BCH_{1}$ равен треугольнику $BAH$, поэтому $CH_{1}\perp BH$, а т.к. $BH_{1}\parallel SH$, то точка $C$ лежит на отрезке $DH_{1}$. Следовательно, $BHDH_{1}$ - квадрат со стороной 1, а его площадь равна площади исходного четырёхугольника.
Второй способ. Обозначим $AH=x$. Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на $BH$. Тогда
$\angle BCF=90^{\circ}-\angle CBF=\angle ABH.$
Значит, прямоугольные треугольники $BCF$ и $ABH$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
$CF=BH=1,~BF=AH=x,~CD=FH=BH-BF=1-x.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=S_{\Delta ABH}+S_{BCDH}=\frac{1}{2}AH\cdot BH+\frac{BH+CD}{2}\cdot CF=\frac{1}{2}\cdot x\cdot1+\frac{1+(1-x)}{2}\cdot1=\frac{x}{2}+1-\frac{x}{2}=1.$
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ прямые, а стороны $AB$ и $BC$ равны. Определите площадь четырёхугольника, если известно, что перпендикуляр $BH$, опущенный на $AD$, равен 1.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим поворот вокруг точки $B$, при котором точка $A$ переходит в $C$. Если при этом точка $H$ переходит в $H_{1}$, то треугольник $BCH_{1}$ равен треугольнику $BAH$, поэтому $CH_{1}\perp BH$, а т.к. $BH_{1}\parallel SH$, то точка $C$ лежит на отрезке $DH_{1}$. Следовательно, $BHDH_{1}$ - квадрат со стороной 1, а его площадь равна площади исходного четырёхугольника.
Второй способ. Обозначим $AH=x$. Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на $BH$. Тогда
$\angle BCF=90^{\circ}-\angle CBF=\angle ABH.$
Значит, прямоугольные треугольники $BCF$ и $ABH$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
$CF=BH=1,~BF=AH=x,~CD=FH=BH-BF=1-x.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=S_{\Delta ABH}+S_{BCDH}=\frac{1}{2}AH\cdot BH+\frac{BH+CD}{2}\cdot CF=\frac{1}{2}\cdot x\cdot1+\frac{1+(1-x)}{2}\cdot1=\frac{x}{2}+1-\frac{x}{2}=1.$
