Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12929
2023-05-08 
Два одинаковых равносторонних треугольника расположены так, что в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что сумма длин трёх попарно несмежных сторон шестиугольника равна сумме длин трёх других его сторон.
Решение:
Пусть $T_{1},T_{2},\dots,T_{6}$ - треугольники, дополняющие указанный шестиугольник до двух данных равносторонних треугольников. Эти шесть треугольников подобны по двум углам, поэтому достаточно доказать, что сумма высот треугольников $T_{1}$, $T_{3}$, $T_{5}$, опущенных из их вершин соответственно $A_{1}$, $A_{3}$, $A_{5}$ на стороны шестиугольника, равны сумме соответствующих высот треугольников $T_{2}$, $T_{4}$, $T_{6}$, опущенных из вершин $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{5}$.
Для этого заметим, что сумма площадей треугольников $A_{1}A_{2}A_{3}$, $A_{3}A_{4}A_{5}$, $A_{5}A_{6}A_{1}$ равна сумме площадей треугольников $A_{2}A_{3}A_{4}$, $A_{4}A_{5}A_{6}$, $A_{6}A_{1}A_{2}$, т.к. каждая из этих сумм с прибавкой площади равностороннего треугольника даёт площадь шестиугольника $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$. Основания шести названных треугольников равны, значит, равны суммы их высот:
$A_{1}H_{1}+A_{3}H_{3}+A_{5}H_{5}=A_{2}H_{2}+A_{4}H_{4}+A_{6}H_{6}.$
Отсюда следует утверждение задачи.
Два одинаковых равносторонних треугольника расположены так, что в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что сумма длин трёх попарно несмежных сторон шестиугольника равна сумме длин трёх других его сторон.
Решение:
Пусть $T_{1},T_{2},\dots,T_{6}$ - треугольники, дополняющие указанный шестиугольник до двух данных равносторонних треугольников. Эти шесть треугольников подобны по двум углам, поэтому достаточно доказать, что сумма высот треугольников $T_{1}$, $T_{3}$, $T_{5}$, опущенных из их вершин соответственно $A_{1}$, $A_{3}$, $A_{5}$ на стороны шестиугольника, равны сумме соответствующих высот треугольников $T_{2}$, $T_{4}$, $T_{6}$, опущенных из вершин $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{5}$.
Для этого заметим, что сумма площадей треугольников $A_{1}A_{2}A_{3}$, $A_{3}A_{4}A_{5}$, $A_{5}A_{6}A_{1}$ равна сумме площадей треугольников $A_{2}A_{3}A_{4}$, $A_{4}A_{5}A_{6}$, $A_{6}A_{1}A_{2}$, т.к. каждая из этих сумм с прибавкой площади равностороннего треугольника даёт площадь шестиугольника $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$. Основания шести названных треугольников равны, значит, равны суммы их высот:
$A_{1}H_{1}+A_{3}H_{3}+A_{5}H_{5}=A_{2}H_{2}+A_{4}H_{4}+A_{6}H_{6}.$
Отсюда следует утверждение задачи.
