Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12923
2023-05-08 
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^{\circ}$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $PHD$, вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Решение:
Проведём диаметр $BT$. Поскольку $\angle PDT=\angle BDT=90^{\circ}$, отрезок $PT$ виден из точек $H$ и $D$ под прямым углом. Значит, точки $D$, $H$, $P$ и $T$ лежат на одной окружности - окружности $\omega$, описанной около треугольника $PHD$. Отрезок $PT$ - диаметр этой окружности, поэтому $\angle PQT=90^{\circ}$.
Четырёхугольник $DPQT$ - прямоугольник, значит, он симметричен относительно общего серединного перпендикуляра $l$ к сторонам $DT$ и $PQ$. Прямая $l$ проходит через точку $O$, поэтому отрезки $AP$ и $CQ$ симметричны относительно $l$. Следовательно, они равны.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$ с центром в точке $O$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$, причём точка $O$ лежит внутри треугольника $BPC$. На отрезке $BO$ выбрана точка $H$ так, что $\angle BHP=90^{\circ}$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $PHD$, вторично пересекает отрезок $PC$ в точке $Q$. Докажите, что $AP=CQ$.
Решение:
Проведём диаметр $BT$. Поскольку $\angle PDT=\angle BDT=90^{\circ}$, отрезок $PT$ виден из точек $H$ и $D$ под прямым углом. Значит, точки $D$, $H$, $P$ и $T$ лежат на одной окружности - окружности $\omega$, описанной около треугольника $PHD$. Отрезок $PT$ - диаметр этой окружности, поэтому $\angle PQT=90^{\circ}$.
Четырёхугольник $DPQT$ - прямоугольник, значит, он симметричен относительно общего серединного перпендикуляра $l$ к сторонам $DT$ и $PQ$. Прямая $l$ проходит через точку $O$, поэтому отрезки $AP$ и $CQ$ симметричны относительно $l$. Следовательно, они равны.
