В данную окружность впишите данный угол с вершиной на окружности так, чтобы площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой, на которую он опирается, была наибольшей.
Подробнее
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника, $h_{a}$ - наименьшая высота, $h_{c}$ - наибольшая высота. Докажите, что $h_{a}\lt3r\lt h_{c}$.
Подробнее
Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой найдите треугольник наибольшей площади.
Подробнее
Из всех прямоугольных треугольников с данной высотой, опущенной на гипотенузу, найдите треугольник наименьшей площади.
Подробнее
Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наибольшую биссектрису, проведённую из вершины этого угла.
Подробнее
Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наименьшую медиану, проведённую из вершины этого угла, если угол тупой, и наибольшую медиану, если угол острый.
Подробнее
В данную окружность впишите четырёхугольник с наибольшим периметром и данной диагональю.
Подробнее
В данный треугольник впишите параллелограмм наибольшей площади с данным острым углом так, чтобы две вершины параллелограмма лежали на стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах.
Подробнее
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=a$, $\angle BCD=\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$, где $M$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Подробнее
На плоскости даны точки $A$, $B$ и $C$. Найдите геометрическое место точек $M$ плоскости таких, что прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $CM$, пересекает отрезок $AB$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ выполняются равенства
$AB=BD,~\angle BAC=30^{\circ},~\angle BCA=31^{\circ},~\angle DBC=3^{\circ}.$
Найдите $\angle BDC$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $M$ - точка пересечения его диагоналей. Через точку $M$ проходит прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$, а окружности, описанные около треугольников $ABM$ и $CDM$, - в точках $P_{2}$ и $Q_{2}$. Докажите, что $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
Подробнее
Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $l$, пересекающая биссектрису угла $A$ в точке $K$, и описанную около треугольника $ABC$ окружность - в точке $M$. Обозначим через $Q$ центр описанной около треугольника $AKC$ окружности. Докажите, что при изменении прямой $l$ окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит фиксированную, отличную от $C$ точку. (Считаем, что $M$ отлична от $B$ и никакие из точек $Q$, $C$ и $M$ не совпадают.)
Подробнее
На плоскости изображён выпуклый девятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{9}$. Найдите сумму углов \"звёздочки\" $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}A_{9}A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если площади треугольников $ABD$, $ACD$ и $AED$ равны соответственно 10, 9 и 6.
Подробнее
