Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12920
2023-05-08 
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая - на $\omega$.
Решение:
Пусть $O$ - центр треугольника $ABC$, $B_{2}$ и $C_{2}$ - точки касания окружности $\omega$ со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $B_{1}$ и $C_{1}$ - точки окружности $\Omega$, диаметрально противоположные точкам $B$ и $C$ соответственно. Тогда точки $B_{1}$ и $C_{1}$ симметричны точке $O$ относительно прямых $AC$ и $AB$ соответственно, поэтому
$\angle OB_{1}P=\angle B_{1}OP,~\angle OC_{1}Q=\angle C_{1}OQ$
(см. задачу @H5785).
Пусть лучи $B_{1}P$ и $C_{1}Q$ пересекают окружность $\Omega$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Докажем, что эти точки совпадают.
Действительно, точка $B'$ лежит на окружности $\Omega$ с диаметром $BB_{1}$, а точка $C'$ - на окружности $\Omega$ с диаметром $CC_{1}$, поэтому
$\angle PB'B=\angle B_{1}B'B=90^{\circ},~\angle CC'Q=\angle CC'C_{1}=90^{\circ}.$
Значит, точка $B'$ лежит на окружности $\Gamma_{b}$, а точка $C'$ - на окружности $\Gamma_{c}$. При этом для меньших дуг $BB'$, $CC'$ и $AB$ окружности $\Omega$ верно равенство
$\breve{ BB'+\breve{ CC'=2(\angle BB_{1}B'+\angle CC_{1}C')=2(\angle B_{1}OP+\angle C_{1}OQ)=$
$=2(180^{\circ}-\angle B_{1}OC_{1})=2(180^{\circ}-120^{\circ})=120^{\circ}=\breve{ AB$
(см. задачу @H4770). Это означает, что точки $B'$ и $C'$ совпадают. Следовательно, окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в точке $B'$, лежащей на окружности $\Omega$.
Поскольку
$\angle BB_{2}P=\angle CC_{2}Q=90^{\circ},$
точки $B_{2}$ и $C_{2}$ лежат на окружностях $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ соответственно. Пусть луч $B'O$ пересекает окружность $\omega$ в точке $X$. Тогда
$OX=OB_{2}=OC_{2}~\mbox{и}~OB'=OB=OC,$
откуда
$OB\cdot OB_{2}=OB'\cdot OX=OC\cdot OC_{2}.$
Первое из этих равенств означает, что точки $B$, $B_{2}$, $B'$ и $X$ лежат на одной окружности (см. задачу @H114), т.е. точка $X$ лежит на окружности $\Gamma_{b}$. Аналогично, из второго равенства следует, что $X$ лежит на окружности $\Gamma_{c}$. Значит, точка $X$ и является точкой пересечения окружностей $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$, лежащей на окружности $\omega$.
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая - на $\omega$.
Решение:
Пусть $O$ - центр треугольника $ABC$, $B_{2}$ и $C_{2}$ - точки касания окружности $\omega$ со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $B_{1}$ и $C_{1}$ - точки окружности $\Omega$, диаметрально противоположные точкам $B$ и $C$ соответственно. Тогда точки $B_{1}$ и $C_{1}$ симметричны точке $O$ относительно прямых $AC$ и $AB$ соответственно, поэтому
$\angle OB_{1}P=\angle B_{1}OP,~\angle OC_{1}Q=\angle C_{1}OQ$
(см. задачу @H5785).
Пусть лучи $B_{1}P$ и $C_{1}Q$ пересекают окружность $\Omega$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Докажем, что эти точки совпадают.
Действительно, точка $B'$ лежит на окружности $\Omega$ с диаметром $BB_{1}$, а точка $C'$ - на окружности $\Omega$ с диаметром $CC_{1}$, поэтому
$\angle PB'B=\angle B_{1}B'B=90^{\circ},~\angle CC'Q=\angle CC'C_{1}=90^{\circ}.$
Значит, точка $B'$ лежит на окружности $\Gamma_{b}$, а точка $C'$ - на окружности $\Gamma_{c}$. При этом для меньших дуг $BB'$, $CC'$ и $AB$ окружности $\Omega$ верно равенство
$\breve{ BB'+\breve{ CC'=2(\angle BB_{1}B'+\angle CC_{1}C')=2(\angle B_{1}OP+\angle C_{1}OQ)=$
$=2(180^{\circ}-\angle B_{1}OC_{1})=2(180^{\circ}-120^{\circ})=120^{\circ}=\breve{ AB$
(см. задачу @H4770). Это означает, что точки $B'$ и $C'$ совпадают. Следовательно, окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в точке $B'$, лежащей на окружности $\Omega$.
Поскольку
$\angle BB_{2}P=\angle CC_{2}Q=90^{\circ},$
точки $B_{2}$ и $C_{2}$ лежат на окружностях $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ соответственно. Пусть луч $B'O$ пересекает окружность $\omega$ в точке $X$. Тогда
$OX=OB_{2}=OC_{2}~\mbox{и}~OB'=OB=OC,$
откуда
$OB\cdot OB_{2}=OB'\cdot OX=OC\cdot OC_{2}.$
Первое из этих равенств означает, что точки $B$, $B_{2}$, $B'$ и $X$ лежат на одной окружности (см. задачу @H114), т.е. точка $X$ лежит на окружности $\Gamma_{b}$. Аналогично, из второго равенства следует, что $X$ лежит на окружности $\Gamma_{c}$. Значит, точка $X$ и является точкой пересечения окружностей $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$, лежащей на окружности $\omega$.
