Из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CH$. Точки $M$ и $N$ - середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
б) Пусть $P$ - точка пересечения прямых $NH$ и $AC$, а $Q$ - точка пересечения прямых $MH$ и $BC$. Найдите площадь треугольника $MPQ$, если $AH=12$ и $BH=3$.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ - середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ - высота.
а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
б) Пусть $P$ - точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ - точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $MPQ$, если $AH=4$ и $BH=2$.
Подробнее
Окружность касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других его сторон на три равные части.
а) Докажите, что данный треугольник равнобедренный.
б) В каком отношении высота этого треугольника делит его боковую сторону?
Подробнее
Точки $M$ и $N$ - середины соответственно гипотенузы $AB$ и катета $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает катет $BC$ и прямую $MN$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ACD$ и $BCD$ касаются $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно, причём $CE:CF=1:2$. Найдите отношение $AD:DB$, если известно, что радиусы указанных окружностей равны.
Подробнее
Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $CK$, если $AB=\sqrt{3}$ и известно, что около четырёхугольника $KLCM$ можно описать окружность.
Подробнее
Медианы $AP$ и $BQ$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Найдите длину отрезка $AB$, если $CD=\sqrt{12}$ и известно, что вокруг четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность.
Подробнее
Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $TACB$, если известно, что $CB=BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.
Подробнее
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$. Хорда $BC$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $D$. Прямая $AD$ пересекает внешнюю окружность в точках $A$ и $E$. Найдите $BE$, если известно, что $EC=CA$, площадь четырёхугольника $ABEC$ равна $3\sqrt{3}$, а радиусы окружностей относятся как $2:3$.
Подробнее
Две окружности касаются внутренним образом в точке $S$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $T$. Прямая $ST$ пересекает внешнюю окружность в точках $S$ и $C$. Найдите площадь четырёхугольника $SACB$, если известно, что $CA=5$, $CB\parallel AS$, а радиусы окружностей относятся как $11:16$.
Подробнее
Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно и пересекает сторону $AC$ в точках $F$ и $G$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $G$). Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AF=5$, $GC=2$, $AD:DB=2:1$ и $BE=EC$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике с периметром 60 точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Подробнее
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=3$, $PB=4$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Подробнее
Пусть $OP$ - диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ - окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Подробнее
Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Площадь треугольника $BDE$ относится к площади треугольника $ABC$ как $1:2$, $\angle CDE=30^{\circ}$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $BO$, если $CE=1$.
Подробнее
