Паук массой $m$ ползёт по лёгкой упругой паутинке жёсткостью $k$, натянутой под углом $\theta$ к горизонту между точками А и В, находящимися на расстоянии $L$ (см. рисунок). Собственной длиной паутинки можно пренебречь. Найдите траекторию паука, считая, что паутинка подчиняется закону Гука.
Подробнее
На стальной стержень радиусом $R$ плотно одето тонкое резиновое кольцо. Сила растяжения кольца равна $T$. Какую силу $F$ нужно приложить, чтобы сдвинуть кольцо вдоль стержня без вращения, если коэффициент трения между сталью и резиной равен $\mu$? Сдвигающая сила равномерно распределена по кольцу.
Подробнее
Из тонкой стальной ленты изготовлена трубка диаметром $d = 10 мм$. Какое внутреннее давление она может выдержать, если при приложении продольного усилия $F = 20000 Н$ трубка рвётся? Считайте, что шов на трубке имеет такую же прочность на разрыв, что и материал трубки.
Подробнее
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги равна $l = 1 м$, её сечение — квадрат со стороной $a = 1 см$.
Подробнее
Найдите общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин одинаковы и равны $k$, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.
Подробнее
Прямоугольная рама образована тремя парами пружин с разными коэффициентами жёсткости (см. рисунок). Все пружины не деформированы и в углах рамы шарнирно соединены друг с другом. Известно, что отношение длинной и короткой сторон рамы $a/b = 25$, а отношение коэффициентов жёсткости диагональных и поперечных пружин $k_{3}/k_{2} = 100$. Раму растягивают, прикладывая к ней четыре одинаковые силы вдоль длинной стороны, как показано стрелками на рисунке. При этом длина рамы $a$ увеличивается на $\Delta a = 0,001a$. Найдите относительные изменения ширины рамы $\Delta b/b$ и её площади $\Delta S/S$ при таком растяжении.
Подробнее
Два груза массой $m$ подвешены к горизонтальному потолку с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей длиной $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. Грузы соединены лёгким жёстким стержнем (см. рисунок). В положении равновесия нити вертикальны. Определите период малых колебаний системы в плоскости рисунка.
Подробнее
На конце невесомого стержня длиной $l$, шарнирно прикреплённого к стене, находится груз массой $m$ (см. рисунок). Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении пружиной жёсткостью $k$, прикреплённой на расстоянии $l_{1}$ от шарнира, причём угол между пружиной и стержнем равен $\alpha$. Найдите частоту малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Подробнее
Грузик массой $m$ падает с высоты $h$ на площадку, закреплённую на пружине жёсткостью $k$. Пружина и площадка невесомы, всё движение происходит по вертикали. Нарисуйте (со всеми подробностями!) графики зависимости от времени ускорения и скорости грузика.
Подробнее
К одному концу пружины с коэффициентом жёсткости $k$ прикрепили груз массой $M$, а другой конец закрепили. Насколько мала должна быть масса пружины $m$ по сравнению с массой груза $M$, чтобы при измерениях периода колебаний с точностью до 1% результат совпадал с периодом, вычисленным в предположении невесомости пружины?
Подробнее
Длинный железнодорожный состав движется по инерции по горизонтальным рельсам, а затем въезжает на горку с углом наклона $\alpha$ к горизонту. Состав полностью остановился, въехав на горку на половину своей длины. Сколько времени прошло от начала подъёма до остановки? Длина состава $L$. Трением и длиной переходного участка пути при въезде на горку пренебречь.
Подробнее
Маленькая шайба, скользившая со скоростью $v_{0}$ по гладкому льду поперёк реки, попала на горизонтальный участок берега, на котором при удалении от кромки льда на расстояние $x$ коэффициент трения возрастает по закону: $\mu = \mu_{0} + kx$, где $\mu_{0}$ и $k$ — постоянные величины. Найдите, спустя какое время после выхода на берег шайба остановится.
Подробнее
Чашка массой $m$ укреплена на вертикальной пружине жёсткостью $k$. Её опускают от положения равновесия на расстояние $a$. Затем чашку отпускают, причём в момент прохождения положения равновесия к ней прилипает пластилиновый шарик массой $M$, не имеющий начальной скорости. Найдите амплитуду $a_{1}$ колебаний системы после удара. Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
Платформа, установленная на вертикальной невесомой пружине, совершает установившиеся колебания. В момент прохождения платформы через положение своего равновесия о неё абсолютно упруго ударяется маленький шарик, падающий с некоторой высоты, причём после соударения скорости платформы и шарика, оставаясь неизменными по модулю, изменяют свои направления на противоположные. Через некоторое время шарик вновь ударяется о платформу в момент её прохождения через положение равновесия, и далее этот процесс повторяется. Считая известными максимальное отклонение $A$ платформы от положения равновесия и период её свободных колебаний $T$, найдите, каким может быть отношение масс шарика и платформы.
Подробнее
На горизонтальную пластину насыпано немного мелкого песка. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $f = 1000 Гц$. При этом песчинки подпрыгивают на высоту $H = 5 мм$ относительно среднего положения пластины. Считая удары песчинок о пластину абсолютно неупругими, найдите амплитуду колебаний пластины.
Подробнее
