Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1082
2016-09-19 
Прямоугольная рама образована тремя парами пружин с разными коэффициентами жёсткости (см. рисунок). Все пружины не деформированы и в углах рамы шарнирно соединены друг с другом. Известно, что отношение длинной и короткой сторон рамы $a/b = 25$, а отношение коэффициентов жёсткости диагональных и поперечных пружин $k_{3}/k_{2} = 100$. Раму растягивают, прикладывая к ней четыре одинаковые силы вдоль длинной стороны, как показано стрелками на рисунке. При этом длина рамы $a$ увеличивается на $\Delta a = 0,001a$. Найдите относительные изменения ширины рамы $\Delta b/b$ и её площади $\Delta S/S$ при таком растяжении.
Решение:
рис.1
рис.2
При действии на раму в продольном направлении внешних сил $F_{вн}$ все пружины будут деформироваться: продольные и диагональные — растягиваться, а поперечные — сжиматься. Вследствие этого возникнут силы упругости, действующие на шарниры. Равновесное состояние рамы установится при равенстве нулю суммарной силы, действующей на каждый шарнир.
Обозначим угол между диагональю недеформированной рамы и её длинной стороной через $\alpha$, а силы упругости, действующие на шарнир со стороны продольной, поперечной и диагональной пружин — через $F_{1}, F_{2}$, и $F_{3}$ соответственно (см. рис. 1). Так как относительное удлинение рамы в продольном направлении $\Delta a/a$ очень мало, то при рассматриваемой деформации угол $\alpha$ практически не изменится. Поэтому условие равновесия шарнира в поперечном направлении имеет вид: $F_{2} = F_{3} \sin \alpha$. Учтём, что $F_{2} = k_{2} | \Delta b|, F_{3} = k_{3} \Delta l$, а удлинение $\Delta l$ диагональной пружины определим при помощи чертежа (см. рис. 2):
$\Delta l \approx \Delta a \cos \alpha - | \Delta b| \sin \alpha$.
Отсюда получим:
$k_{2} | \Delta b| \approx k_{3}( \Delta a \cos \alpha — | \Delta b| \sin \alpha ) \sin \alpha$,
и
$| \Delta b| \approx \frac{k_{3} \sin \alpha \cos \alpha}{k_{2} + k_{3} \sin^{2} \alpha} \Delta a = \frac{(k_{3}/k_{2}) \sin \alpha \cos \alpha}{ 1 + (k_{3}/k_{2}) \sin^{2} \alpha } \Delta a$.
Так как $b = a tg \alpha$, то
$ \frac{ \Delta b}{b} \approx \frac{(k_{3}/k_{2}) \cos^{2} \alpha}{1 + (k_{3}/k_{2}) \sin^{2} \alpha} \cdot \frac{ \Delta a}{a}$.
Учитывая, что $\Delta b$ отрицательно (рама в поперечном направлении сжимается), $\sin \alpha \approx tg \alpha, \cos \alpha \approx 1$, окончательно найдём:
$ \frac{ \Delta b}{b} \approx \frac{k_{3}/k_{2} }{1 + (k_{3}/k_{2}) tg^{2} \alpha} \cdot \frac{ \Delta a}{a} = - \frac{ k_{3}/k_{2} }{1 + (k_{3}/k_{2})(b/a)^{2} } \cdot \frac{ \Delta a}{a} = - \frac{100}{1 + 100 \cdot (1/25)^{2}} \cdot 0,001 \approx - 0,1$.
то есть относительное изменение ширины рамы составляет $\sim 10%$. Относительное изменение площади рамы при этом равно:
$\frac{ \Delta S}{S} = \frac{(a+ \Delta a)(b + \Delta b) - ab}{ab} \approx \frac{ \Delta a}{a} + \frac{ \Delta b}{b}$.
Так как $\Delta a/a \ll | \Delta b|/b$, то $\Delta S/S \approx \Delta b/b \approx -0,1$.
Мы видим, что в данном случае площадь рамы при её растяжении уменьшается. Это свидетельствует о том, что объём тела при растяжении может не только увеличиваться (как это имеет место для большинства упругих тел), но и уменьшаться. Приведённая в задаче модель показывает, каким может быть внутреннее строение вещества (например, некоторого полимера), обладающего такими необычными свойствами.
Прямоугольная рама образована тремя парами пружин с разными коэффициентами жёсткости (см. рисунок). Все пружины не деформированы и в углах рамы шарнирно соединены друг с другом. Известно, что отношение длинной и короткой сторон рамы $a/b = 25$, а отношение коэффициентов жёсткости диагональных и поперечных пружин $k_{3}/k_{2} = 100$. Раму растягивают, прикладывая к ней четыре одинаковые силы вдоль длинной стороны, как показано стрелками на рисунке. При этом длина рамы $a$ увеличивается на $\Delta a = 0,001a$. Найдите относительные изменения ширины рамы $\Delta b/b$ и её площади $\Delta S/S$ при таком растяжении.
Решение:
рис.1
рис.2
При действии на раму в продольном направлении внешних сил $F_{вн}$ все пружины будут деформироваться: продольные и диагональные — растягиваться, а поперечные — сжиматься. Вследствие этого возникнут силы упругости, действующие на шарниры. Равновесное состояние рамы установится при равенстве нулю суммарной силы, действующей на каждый шарнир.
Обозначим угол между диагональю недеформированной рамы и её длинной стороной через $\alpha$, а силы упругости, действующие на шарнир со стороны продольной, поперечной и диагональной пружин — через $F_{1}, F_{2}$, и $F_{3}$ соответственно (см. рис. 1). Так как относительное удлинение рамы в продольном направлении $\Delta a/a$ очень мало, то при рассматриваемой деформации угол $\alpha$ практически не изменится. Поэтому условие равновесия шарнира в поперечном направлении имеет вид: $F_{2} = F_{3} \sin \alpha$. Учтём, что $F_{2} = k_{2} | \Delta b|, F_{3} = k_{3} \Delta l$, а удлинение $\Delta l$ диагональной пружины определим при помощи чертежа (см. рис. 2):
$\Delta l \approx \Delta a \cos \alpha - | \Delta b| \sin \alpha$.
Отсюда получим:
$k_{2} | \Delta b| \approx k_{3}( \Delta a \cos \alpha — | \Delta b| \sin \alpha ) \sin \alpha$,
и
$| \Delta b| \approx \frac{k_{3} \sin \alpha \cos \alpha}{k_{2} + k_{3} \sin^{2} \alpha} \Delta a = \frac{(k_{3}/k_{2}) \sin \alpha \cos \alpha}{ 1 + (k_{3}/k_{2}) \sin^{2} \alpha } \Delta a$.
Так как $b = a tg \alpha$, то
$ \frac{ \Delta b}{b} \approx \frac{(k_{3}/k_{2}) \cos^{2} \alpha}{1 + (k_{3}/k_{2}) \sin^{2} \alpha} \cdot \frac{ \Delta a}{a}$.
Учитывая, что $\Delta b$ отрицательно (рама в поперечном направлении сжимается), $\sin \alpha \approx tg \alpha, \cos \alpha \approx 1$, окончательно найдём:
$ \frac{ \Delta b}{b} \approx \frac{k_{3}/k_{2} }{1 + (k_{3}/k_{2}) tg^{2} \alpha} \cdot \frac{ \Delta a}{a} = - \frac{ k_{3}/k_{2} }{1 + (k_{3}/k_{2})(b/a)^{2} } \cdot \frac{ \Delta a}{a} = - \frac{100}{1 + 100 \cdot (1/25)^{2}} \cdot 0,001 \approx - 0,1$.
то есть относительное изменение ширины рамы составляет $\sim 10%$. Относительное изменение площади рамы при этом равно:
$\frac{ \Delta S}{S} = \frac{(a+ \Delta a)(b + \Delta b) - ab}{ab} \approx \frac{ \Delta a}{a} + \frac{ \Delta b}{b}$.
Так как $\Delta a/a \ll | \Delta b|/b$, то $\Delta S/S \approx \Delta b/b \approx -0,1$.
Мы видим, что в данном случае площадь рамы при её растяжении уменьшается. Это свидетельствует о том, что объём тела при растяжении может не только увеличиваться (как это имеет место для большинства упругих тел), но и уменьшаться. Приведённая в задаче модель показывает, каким может быть внутреннее строение вещества (например, некоторого полимера), обладающего такими необычными свойствами.
