К штативу, установленному на тележке, на лёгкой нерастяжимой нити 1 подвешен маленький шарик массой $M$, к которому на лёгкой нерастяжимой нити 2 подвешен другой маленький шарик массой $m$ (см. рисунок). Под действием внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону с частотой $\omega$, тележка совершает малые колебания в горизонтальном направлении. При какой длине $L$ нити 2 нить 1 будет всё время оставаться строго вертикальной? Влиянием воздуха на движение тел пренебречь.
Подробнее
В системе, изображённой на рисунке, массы грузов равны $m$, жёсткость пружины $k$. Пружина и нить невесомы, трения нет. В начальный момент грузы неподвижны, и система находится в равновесии. Затем, удерживая левый груз, смещают правый вниз на расстояние $a$, после чего их отпускают без начальной скорости. Найдите максимальную скорость левого груза в процессе колебаний, считая, что нити всё время остаются натянутыми, а грузы не ударяются об остальные тела системы.
Подробнее
В системе, изображённой на рисунке, прикреплённые к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях $L/2$ от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны $L$. Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найдите максимальную скорость, которую будут иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар при столкновении является центральным. Жёсткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь.
Подробнее
Один из концов шланга погружен в воду на длину $l$. С поверхностью воды шланг образует угол $\alpha$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний воды в шланге. Считайте затухание малым.
Подробнее
Трубка длиной $L$ с постоянным внутренним сечением в форме круга радиусом $R (R \ll L)$ свёрнута в кольцо. Кольцо неподвижно, а его ось горизонтальна. В трубку залили невязкую жидкость, объём которой $V < \pi R^{2}L$. Каков период малых колебаний жидкости вблизи положения равновесия?
Подробнее
Вертикальная $U$-образная трубка постоянного поперечного сечения жёстко закреплена, и в неё налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным $T_{3}$. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считайте, что ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Подробнее
Одно колено гладкой $U$-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью $S$ вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом $\alpha$. В трубку налили жидкость плотностью $\rho$ и массой $M$ так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
К внутренней поверхности тонкостенного обруча прикреплён небольшой шарик (см. рисунок). Масса обруча равна $M$, масса шарика $m$ ($m$ и $M$ одного порядка), радиус обруча $R$. Обруч может без проскальзывания кататься по горизонтальной поверхности. Чему равен период колебаний обруча около положения равновесия в случае малых амплитуд? Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
На обруч намотана нерастяжимая невесомая нить, один конец которой прикреплён к потолку непосредственно, а другой через невесомую пружину (см. рисунок). Масса обруча равна $m$, жёсткость пружины $k$. Если обруч немного сместить из положения равновесия вниз и отпустить, то возникнут колебания, при которых обруч будет двигаться вертикально и при этом вращаться. Найдите частоту этих колебаний.
Подробнее
На невесомую нерастяжимую нить длиной $2l$, концы которой закреплены на одной высоте, надета гайка. Под тяжестью гайки нить провисает на величину $h$. Найдите период $T$ малых колебаний гайки вдоль нити. Трение гайки о нить отсутствует.
Подробнее
Два кубика одинаковой массы прикреплены к концам нерастяжимой невесомой нити, продетой через отверстие в горизонтальной плоскости. Верхний кубик скользит по плоскости по круговой траектории с угловой скоростью $\omega$ так, что нижний кубик неподвижен (см. рисунок). Трения нет. Если слегка дёрнуть за нижний кубик в вертикальном направлении, то возникнут малые колебания. Найдите их частоту $\Omega$.
Подробнее
Маленький шарик закреплён на двух одинаковых пружинах, имеющих в растянутом состоянии длину $l$. Шарик толкнули, и он начал совершать периодическое движение малой амплитуды по траектории в форме «восьмёрки» (см. рисунок). При какой длине нерастянутой пружины $l_{0}$ такое движение возможно? Система находится в невесомости.
Подробнее
Верхний конец жёсткого вертикального металлического стержня длиной $l$ колеблется с малой амплитудой $a$ и большой частотой $\omega$, в то время как нижний его конец шарнирно закреплён. На стержень надето и припаяно на равных расстояниях друг от друга большое количество маленьких колец. В некоторый момент времени стержень сильно нагревают, припой расплавляется, и кольца получают возможность свободно двигаться вдоль стержня. Какая часть колец останется на стержне через большой промежуток времени?
Подробнее
Шар массой $m = 1 кг$, прикреплённый к идеальной пружине жёсткостью $k = 50 Н/м$, колеблется в вязкой среде. На рисунках представлены графики зависимостей скорости $v$ от координаты $x$ и ускорения $a$ от скорости, соответствующие движению шара (начало координат выбрано в положении его равновесия). Начертите график зависимости силы вязкого трения, действующей на шар, от его скорости.
Подробнее
На горизонтальной поверхности лежит грузик массой $m$, соединённый с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью $k$. Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu \ll 1$. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начальной скорости грузик совершил много колебаний и прошёл до остановки путь $S$. Оцените время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считайте силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.
Подробнее
