Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1084
2016-09-19 
На конце невесомого стержня длиной $l$, шарнирно прикреплённого к стене, находится груз массой $m$ (см. рисунок). Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении пружиной жёсткостью $k$, прикреплённой на расстоянии $l_{1}$ от шарнира, причём угол между пружиной и стержнем равен $\alpha$. Найдите частоту малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Решение:
Пусть груз сместился от положения равновесия на величину $x$. Обозначим длину пружины в положении равновесия через $x_{0}$, длину пружины после смещения груза — через $x_{1}$, величину смещения точки соединения пружины и стержня — через $x^{ \prime}$, и найдём удлинение пружины $\Delta x$. Применяя к треугольнику $ABD$ (рис.) теорему косинусов, получим:
$x_{1}^{2} \approx x^{ \prime 2} + x_{0}^{2} - 2x^{ \prime} x_{0} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right )$.
Здесь учтено, что смещения $x$ и $x^{ \prime}$ малы, и поэтому $\angle CAD \approx \pi /2$. Перенося $x_{0}^{2}$ в левую часть уравнения, применяя формулу разности квадратов и учитывая, что $x_{1} — x_{0} = \Delta x, x_{1} + x_{0} \approx 2x_{0}$, получим: $2 x_{0} \Delta x \approx x^{ \prime 2} + 2 x^{ \prime} x_{0} \sin \alpha$. Пренебрегая величиной $x^{ \prime 2}$ ввиду её малости, найдём удлинение пружины: $\Delta x \approx x^{ \prime} \sin \alpha$. Смещения $x$ и $x^{ \prime}$ связаны между собой соотношением: $x^{ \prime} = \frac{l_{1}}{l}x$, поэтому окончательно для удлинения пружины имеем:
$\Delta x \approx \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} x$.
Запишем теперь выражения для кинетической энергии груза $W$ и потенциальной энергии $U$ запасённой в пружине:
$W = \frac{mv^{2}}{2}; U = \frac{k \Delta x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \left ( \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} \right )^{2} x^{2}$.
Здесь $v = dx/dt$ — скорость, соответствующая координате $x$. Квадрат искомой круговой частоты равен отношению коэффициентов при $x^{2}$ и при $v^{2}$ в выражениях для $U$ и $W$. Поэтому окончательно получаем:
$\omega_{0} = \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} \sqrt{ \frac{l}{m} }$.
Заметим, что по аналогии с колебаниями груза, подвешенного на пружине, начальную потенциальную энергию пружины, имеющуюся в положении равновесия нашей системы, а также потенциальную энергию груза в поле силы тяжести можно не учитывать, потому что коэффициент при $x^{2}$ в выражении для $U$ от этого не меняется.
На конце невесомого стержня длиной $l$, шарнирно прикреплённого к стене, находится груз массой $m$ (см. рисунок). Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении пружиной жёсткостью $k$, прикреплённой на расстоянии $l_{1}$ от шарнира, причём угол между пружиной и стержнем равен $\alpha$. Найдите частоту малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Решение:
Пусть груз сместился от положения равновесия на величину $x$. Обозначим длину пружины в положении равновесия через $x_{0}$, длину пружины после смещения груза — через $x_{1}$, величину смещения точки соединения пружины и стержня — через $x^{ \prime}$, и найдём удлинение пружины $\Delta x$. Применяя к треугольнику $ABD$ (рис.) теорему косинусов, получим:
$x_{1}^{2} \approx x^{ \prime 2} + x_{0}^{2} - 2x^{ \prime} x_{0} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right )$.
Здесь учтено, что смещения $x$ и $x^{ \prime}$ малы, и поэтому $\angle CAD \approx \pi /2$. Перенося $x_{0}^{2}$ в левую часть уравнения, применяя формулу разности квадратов и учитывая, что $x_{1} — x_{0} = \Delta x, x_{1} + x_{0} \approx 2x_{0}$, получим: $2 x_{0} \Delta x \approx x^{ \prime 2} + 2 x^{ \prime} x_{0} \sin \alpha$. Пренебрегая величиной $x^{ \prime 2}$ ввиду её малости, найдём удлинение пружины: $\Delta x \approx x^{ \prime} \sin \alpha$. Смещения $x$ и $x^{ \prime}$ связаны между собой соотношением: $x^{ \prime} = \frac{l_{1}}{l}x$, поэтому окончательно для удлинения пружины имеем:
$\Delta x \approx \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} x$.
Запишем теперь выражения для кинетической энергии груза $W$ и потенциальной энергии $U$ запасённой в пружине:
$W = \frac{mv^{2}}{2}; U = \frac{k \Delta x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \left ( \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} \right )^{2} x^{2}$.
Здесь $v = dx/dt$ — скорость, соответствующая координате $x$. Квадрат искомой круговой частоты равен отношению коэффициентов при $x^{2}$ и при $v^{2}$ в выражениях для $U$ и $W$. Поэтому окончательно получаем:
$\omega_{0} = \frac{l_{1} \sin \alpha}{l} \sqrt{ \frac{l}{m} }$.
Заметим, что по аналогии с колебаниями груза, подвешенного на пружине, начальную потенциальную энергию пружины, имеющуюся в положении равновесия нашей системы, а также потенциальную энергию груза в поле силы тяжести можно не учитывать, потому что коэффициент при $x^{2}$ в выражении для $U$ от этого не меняется.
