Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1090
2016-09-19 
Платформа, установленная на вертикальной невесомой пружине, совершает установившиеся колебания. В момент прохождения платформы через положение своего равновесия о неё абсолютно упруго ударяется маленький шарик, падающий с некоторой высоты, причём после соударения скорости платформы и шарика, оставаясь неизменными по модулю, изменяют свои направления на противоположные. Через некоторое время шарик вновь ударяется о платформу в момент её прохождения через положение равновесия, и далее этот процесс повторяется. Считая известными максимальное отклонение $A$ платформы от положения равновесия и период её свободных колебаний $T$, найдите, каким может быть отношение масс шарика и платформы.
Решение:
Пусть шарик перед ударом о платформу имеет скорость $v$, а платформа в этот же момент имеет скорость $V$. Направим координатную ось $X$ вниз и применим для процесса столкновения шарика массой $m$ и платформы массой $M$ закон сохранения импульса:
$mv - MV = -mv + MV$. Отсюда $\frac{m}{M} = \frac{V}{v}$.
Время между столкновениями шарика и платформы, с одной стороны, равно времени полёта шарика $t = 2v/g$, а с другой стороны, $t = \frac{T}{2} + NT$, где $T = 2 \pi \sqrt{M/k}$ — период свободных колебаний платформы, $N = 0, 1, 2, \cdots $ — число полных периодов колебаний платформы, прошедших между соударениями. Отсюда находим скорость шарика перед ударом: $v = \frac{gT}{4} (2N + 1)$. Из закона сохранения механической энергии для свободных колебаний платформы получаем: $\frac{kA^{2}}{2} = \frac{MV^{2}}{2}$, откуда $V = A \sqrt{ \frac{k}{m}} = 2 \pi \frac{A}{T}$. Значит,
$\frac{m}{M} = \frac{V}{v}= \frac{2 \pi A}{vT} = \frac{8 \pi A}{gT^{2}(2N+1)}, N = 0,1,2, \cdots$
Платформа, установленная на вертикальной невесомой пружине, совершает установившиеся колебания. В момент прохождения платформы через положение своего равновесия о неё абсолютно упруго ударяется маленький шарик, падающий с некоторой высоты, причём после соударения скорости платформы и шарика, оставаясь неизменными по модулю, изменяют свои направления на противоположные. Через некоторое время шарик вновь ударяется о платформу в момент её прохождения через положение равновесия, и далее этот процесс повторяется. Считая известными максимальное отклонение $A$ платформы от положения равновесия и период её свободных колебаний $T$, найдите, каким может быть отношение масс шарика и платформы.
Решение:
Пусть шарик перед ударом о платформу имеет скорость $v$, а платформа в этот же момент имеет скорость $V$. Направим координатную ось $X$ вниз и применим для процесса столкновения шарика массой $m$ и платформы массой $M$ закон сохранения импульса:
$mv - MV = -mv + MV$. Отсюда $\frac{m}{M} = \frac{V}{v}$.
Время между столкновениями шарика и платформы, с одной стороны, равно времени полёта шарика $t = 2v/g$, а с другой стороны, $t = \frac{T}{2} + NT$, где $T = 2 \pi \sqrt{M/k}$ — период свободных колебаний платформы, $N = 0, 1, 2, \cdots $ — число полных периодов колебаний платформы, прошедших между соударениями. Отсюда находим скорость шарика перед ударом: $v = \frac{gT}{4} (2N + 1)$. Из закона сохранения механической энергии для свободных колебаний платформы получаем: $\frac{kA^{2}}{2} = \frac{MV^{2}}{2}$, откуда $V = A \sqrt{ \frac{k}{m}} = 2 \pi \frac{A}{T}$. Значит,
$\frac{m}{M} = \frac{V}{v}= \frac{2 \pi A}{vT} = \frac{8 \pi A}{gT^{2}(2N+1)}, N = 0,1,2, \cdots$
