Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1091
2016-09-19 
На горизонтальную пластину насыпано немного мелкого песка. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $f = 1000 Гц$. При этом песчинки подпрыгивают на высоту $H = 5 мм$ относительно среднего положения пластины. Считая удары песчинок о пластину абсолютно неупругими, найдите амплитуду колебаний пластины.
Решение:
Обозначим амплитуду колебаний пластины через $A$. Песчинка после удара отрывается от пластины при её движении вверх на высоте $h = A \sin (2 \pi ft)$ над средним положением пластины и приобретает скорость $v = A \cdot 2 \pi f \cos (2 \pi ft)$, которая равна скорости пластины. В момент отрыва песчинки ускорение пластины направлено вниз и равно по величине $A( 2 \pi f)^{2} \sin (2 \pi ft) = g$. Обозначим через $\phi$ величину $2 \pi ft$. Тогда $\sin \phi = \frac{g}{A(2 \pi f)^{2}}$. Заметим, что, поскольку $\sin \phi \leq 1$, то искомая амплитуда $A$ должна удовлетворять условию $A \geq A_{0} = \frac{g}{(2 \pi f)^{2}} \approx 0,25 \cdot 10^{-3} мм$. При меньших значениях амплитуды песчинка не будет отрываться от пластины и подпрыгивать, что противоречит условию задачи.
Высота, на которую поднимается песчинка после отрыва от пластины, равна:
$H = h + \frac{v^{2}}{2g} = A \sin \phi + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2} \cos^{2} \phi}{2g} = A \sin \phi + \frac{A^{2}(2 \pi f)^{2} (1- \sin^{2} \phi)}{2g} = \frac{g}{ (2 \pi f)^{2}} + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2} \left ( 1 - \frac{g^{2}}{A^{2}(2 \pi f)^{4}} \right ) }{2g} = \frac{g}{2(2 \pi f)^{2}} + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2}}{2g}$.
Отсюда следует, что
$A = \frac{2gH - \frac{g^{2}}{(2 \pi f)^{2}} }{ 2 \pi f} \approx \frac{ \sqrt{2gH}}{2 \pi f} \approx 5 \cdot 10^{-5} м = 0,05 мм$
так как $H \gg A_{0}$. Найденное значение амплитуды $A$ значительно превышает критическое значение $A_{0}$, то есть при колебаниях пластины с такой амплитудой песчинки действительно будут подпрыгивать.
На горизонтальную пластину насыпано немного мелкого песка. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $f = 1000 Гц$. При этом песчинки подпрыгивают на высоту $H = 5 мм$ относительно среднего положения пластины. Считая удары песчинок о пластину абсолютно неупругими, найдите амплитуду колебаний пластины.
Решение:
Обозначим амплитуду колебаний пластины через $A$. Песчинка после удара отрывается от пластины при её движении вверх на высоте $h = A \sin (2 \pi ft)$ над средним положением пластины и приобретает скорость $v = A \cdot 2 \pi f \cos (2 \pi ft)$, которая равна скорости пластины. В момент отрыва песчинки ускорение пластины направлено вниз и равно по величине $A( 2 \pi f)^{2} \sin (2 \pi ft) = g$. Обозначим через $\phi$ величину $2 \pi ft$. Тогда $\sin \phi = \frac{g}{A(2 \pi f)^{2}}$. Заметим, что, поскольку $\sin \phi \leq 1$, то искомая амплитуда $A$ должна удовлетворять условию $A \geq A_{0} = \frac{g}{(2 \pi f)^{2}} \approx 0,25 \cdot 10^{-3} мм$. При меньших значениях амплитуды песчинка не будет отрываться от пластины и подпрыгивать, что противоречит условию задачи.
Высота, на которую поднимается песчинка после отрыва от пластины, равна:
$H = h + \frac{v^{2}}{2g} = A \sin \phi + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2} \cos^{2} \phi}{2g} = A \sin \phi + \frac{A^{2}(2 \pi f)^{2} (1- \sin^{2} \phi)}{2g} = \frac{g}{ (2 \pi f)^{2}} + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2} \left ( 1 - \frac{g^{2}}{A^{2}(2 \pi f)^{4}} \right ) }{2g} = \frac{g}{2(2 \pi f)^{2}} + \frac{A^{2} (2 \pi f)^{2}}{2g}$.
Отсюда следует, что
$A = \frac{2gH - \frac{g^{2}}{(2 \pi f)^{2}} }{ 2 \pi f} \approx \frac{ \sqrt{2gH}}{2 \pi f} \approx 5 \cdot 10^{-5} м = 0,05 мм$
так как $H \gg A_{0}$. Найденное значение амплитуды $A$ значительно превышает критическое значение $A_{0}$, то есть при колебаниях пластины с такой амплитудой песчинки действительно будут подпрыгивать.
