Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1089
2016-09-19 
Чашка массой $m$ укреплена на вертикальной пружине жёсткостью $k$. Её опускают от положения равновесия на расстояние $a$. Затем чашку отпускают, причём в момент прохождения положения равновесия к ней прилипает пластилиновый шарик массой $M$, не имеющий начальной скорости. Найдите амплитуду $a_{1}$ колебаний системы после удара. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Перед столкновением с шариком скорость чашки была равна $v = a \sqrt{k/m}$, а сразу после него — $u$. Значение и можно определить из закона сохранения импульса при соударении: $mv = (m + M)u$, откуда та $u = \frac{ma}{m + M} \sqrt{ k/m}$.
Будем отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия пустой чашки. Тогда в момент сразу после прилипания шарика полная механическая энергия системы равна $E = \frac{(m+M)u^{2}}{2} = \frac{kma^{2}}{2(m+M)}$. В моменты остановок чашки с шариком, то есть в моменты её наибольшего отклонения от положения равновесия, механическая энергия системы равна
$E = - (m+M)gb + \frac{k}{2} \left ( \left ( \frac{mg}{k} + b \right )^{2} - \left ( \frac{mg}{k} \right )^{2} \right ) = \frac{kma^{2}}{2(M+m)}$,
где $b$ — отклонение от положения равновесия пустой чашки ($b$ считается положительным при смещении чашки вниз). Отсюда получаем:
$b^{2} - \frac{2Mg}{k} b - \frac{ma^{2}}{ m + M } = 0$.
Оба корня этого квадратного уравнения $b_{1} < 0$ и $b_{2} > 0$ соответствуют верхней и нижней точкам остановки чашки, поэтому амплитуда колебаний системы после удара равна
$a_{1} = \frac{b_{2} - b_{1}}{2} = \sqrt{ \frac{ma^{2}}{m + M} + \left ( \frac{Mg}{k} \right )^{2} }$.
Чашка массой $m$ укреплена на вертикальной пружине жёсткостью $k$. Её опускают от положения равновесия на расстояние $a$. Затем чашку отпускают, причём в момент прохождения положения равновесия к ней прилипает пластилиновый шарик массой $M$, не имеющий начальной скорости. Найдите амплитуду $a_{1}$ колебаний системы после удара. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Перед столкновением с шариком скорость чашки была равна $v = a \sqrt{k/m}$, а сразу после него — $u$. Значение и можно определить из закона сохранения импульса при соударении: $mv = (m + M)u$, откуда та $u = \frac{ma}{m + M} \sqrt{ k/m}$.
Будем отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия пустой чашки. Тогда в момент сразу после прилипания шарика полная механическая энергия системы равна $E = \frac{(m+M)u^{2}}{2} = \frac{kma^{2}}{2(m+M)}$. В моменты остановок чашки с шариком, то есть в моменты её наибольшего отклонения от положения равновесия, механическая энергия системы равна
$E = - (m+M)gb + \frac{k}{2} \left ( \left ( \frac{mg}{k} + b \right )^{2} - \left ( \frac{mg}{k} \right )^{2} \right ) = \frac{kma^{2}}{2(M+m)}$,
где $b$ — отклонение от положения равновесия пустой чашки ($b$ считается положительным при смещении чашки вниз). Отсюда получаем:
$b^{2} - \frac{2Mg}{k} b - \frac{ma^{2}}{ m + M } = 0$.
Оба корня этого квадратного уравнения $b_{1} < 0$ и $b_{2} > 0$ соответствуют верхней и нижней точкам остановки чашки, поэтому амплитуда колебаний системы после удара равна
$a_{1} = \frac{b_{2} - b_{1}}{2} = \sqrt{ \frac{ma^{2}}{m + M} + \left ( \frac{Mg}{k} \right )^{2} }$.
