Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1086
2016-09-19 
К одному концу пружины с коэффициентом жёсткости $k$ прикрепили груз массой $M$, а другой конец закрепили. Насколько мала должна быть масса пружины $m$ по сравнению с массой груза $M$, чтобы при измерениях периода колебаний с точностью до 1% результат совпадал с периодом, вычисленным в предположении невесомости пружины?
Решение:
Запишем выражения для кинетической $W$ и потенциальной $U$ энергий груза, колеблющегося на невесомой пружине. Если $x$ — координата груза, $y$ — его скорость,
то $W = Mv^{2}/2$, а $U = kx^{2}/2$, откуда для периода колебаний получаем $T_{0} = 2 \pi \sqrt{M/k}$.
Пусть теперь пружина имеет массу $m$. Тогда в выражении для кинетической энергии системы появляется добавка — кинетическая энергия пружины. Её можно оценить следующим образом. Будем считать, что вся масса пружины сосредоточена в её середине и колеблется с амплитудой, равной половине амплитуды колебаний груза. Тогда кинетическая энергия пружины $W_{п} = \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} = \frac{m}{4} \cdot \frac{v^{2}}{2}$, и полная кинетическая энергия
системы
$W = \frac{1}{2} \left ( M + \frac{m}{4} \right ) v^{2}$.
Выражение для потенциальной энергии при этом имеет прежний вид. В результате для периода колебаний груза на массивной пружине получаем:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M + (m/4)}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } \sqrt{ 1 + \frac{m}{4M}} \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}} \left ( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{4M} \right ) = T_{0} \left ( 1 + \frac{m}{8M} \right )$.
Здесь мы использовали приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, справедливую при $x \ll 1$. По условию $\frac{m}{8M} \leq 0,01$, так что искомое соотношение имеет вид: $m \leq 0,08M$.
Более точную оценку можно получить, считая, что амплитуда колебаний различных частей пружины нарастает по линейному закону при удалении от закреплённого конца. Тогда скорость $v_{п}$ малого участка пружины, находящегося на расстоянии $y$ от точки её закрепления, выражается формулой: $v_{п} = \frac{y}{l} v$, и для кинетической энергии пружины получается:
$W_{п} = \int \frac{1}{2} v_{п}^{2} dm = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} \frac{y^{2}}{l^{2}} v^{2} \frac{m}{l} dy = \frac{m}{3} \cdot \frac{v^{2}}{2}$,
так что $W = \frac{1}{2} \left ( M + \frac{m}{3} \right ) v^{2}$. В этом случае, аналогично предыдущему, получаем:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M + (m/3)}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}} \sqrt{1+ \frac{m}{3M}} \approx T_{0} \left ( 1 + \frac{m}{6M} \right )$.
откуда следует, что при условиях задачи масса пружины должна удовлетворять следующему условию: $m \leq 0,06M$.
Видно, что оба метода расчёта дают близкие результаты.
К одному концу пружины с коэффициентом жёсткости $k$ прикрепили груз массой $M$, а другой конец закрепили. Насколько мала должна быть масса пружины $m$ по сравнению с массой груза $M$, чтобы при измерениях периода колебаний с точностью до 1% результат совпадал с периодом, вычисленным в предположении невесомости пружины?
Решение:
Запишем выражения для кинетической $W$ и потенциальной $U$ энергий груза, колеблющегося на невесомой пружине. Если $x$ — координата груза, $y$ — его скорость,
то $W = Mv^{2}/2$, а $U = kx^{2}/2$, откуда для периода колебаний получаем $T_{0} = 2 \pi \sqrt{M/k}$.
Пусть теперь пружина имеет массу $m$. Тогда в выражении для кинетической энергии системы появляется добавка — кинетическая энергия пружины. Её можно оценить следующим образом. Будем считать, что вся масса пружины сосредоточена в её середине и колеблется с амплитудой, равной половине амплитуды колебаний груза. Тогда кинетическая энергия пружины $W_{п} = \frac{m}{2} \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} = \frac{m}{4} \cdot \frac{v^{2}}{2}$, и полная кинетическая энергия
системы
$W = \frac{1}{2} \left ( M + \frac{m}{4} \right ) v^{2}$.
Выражение для потенциальной энергии при этом имеет прежний вид. В результате для периода колебаний груза на массивной пружине получаем:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M + (m/4)}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } \sqrt{ 1 + \frac{m}{4M}} \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}} \left ( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{4M} \right ) = T_{0} \left ( 1 + \frac{m}{8M} \right )$.
Здесь мы использовали приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, справедливую при $x \ll 1$. По условию $\frac{m}{8M} \leq 0,01$, так что искомое соотношение имеет вид: $m \leq 0,08M$.
Более точную оценку можно получить, считая, что амплитуда колебаний различных частей пружины нарастает по линейному закону при удалении от закреплённого конца. Тогда скорость $v_{п}$ малого участка пружины, находящегося на расстоянии $y$ от точки её закрепления, выражается формулой: $v_{п} = \frac{y}{l} v$, и для кинетической энергии пружины получается:
$W_{п} = \int \frac{1}{2} v_{п}^{2} dm = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} \frac{y^{2}}{l^{2}} v^{2} \frac{m}{l} dy = \frac{m}{3} \cdot \frac{v^{2}}{2}$,
так что $W = \frac{1}{2} \left ( M + \frac{m}{3} \right ) v^{2}$. В этом случае, аналогично предыдущему, получаем:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M + (m/3)}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}} \sqrt{1+ \frac{m}{3M}} \approx T_{0} \left ( 1 + \frac{m}{6M} \right )$.
откуда следует, что при условиях задачи масса пружины должна удовлетворять следующему условию: $m \leq 0,06M$.
Видно, что оба метода расчёта дают близкие результаты.
