Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1081
2016-09-19 
Найдите общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин одинаковы и равны $k$, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.
Решение:
Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней силы $F$ через $\Delta x$, а следующих, расположенных ниже платформ, под действием приложенных к ним сил $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \cdots$, — через $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}, \cdots$ соответственно (см. рис.). Тогда из условия равновесия верхней платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что общий коэффициент жёсткости равен:
$k_{ \Sigma} = \frac{F}{ \Delta x} = \frac{k \Delta x + 2k ( \Delta x - \Delta x_{1})}{ \Delta x} = 3k - 2k \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} = k \left ( 3 - 2 \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} \right )$
Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что
$F_{1} = k( \Delta x - \Delta x_{1}) = k \Delta x_{1} + k( \Delta x_{1} - \Delta x_{2})$,
$F_{2} = k( \Delta x_{1} - \Delta x_{2}) = k \Delta x_{2} + k( \Delta x_{2} - \Delta x_{3})$,
$F_{3} = k( \Delta x_{2} - \Delta x_{3}) = k \Delta x_{3} + k( \Delta x_{3} - \Delta x_{4})$,
$\cdots \cdots$
Складывая эти уравнения и сокращая на $k$, получаем:
$\Delta x = 2 \Delta x_{1} + \Delta x_{2} + \Delta x_{3} + \Delta x_{4} + \cdots$. (1)
Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой части данной бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому
$\frac{F_{1}}{ \Delta x_{1}} = \frac{F_{2}}{ \Delta x_{2}} = \frac{F_{3}}{ \Delta x_{3}} = \cdots$,
или
$\frac{ k ( \Delta x - \Delta x_{1})}{ \Delta x_{1}} = \frac{ k ( \Delta x_{1} - \Delta x_{2})}{ \Delta x_{2}} = \frac{ k ( \Delta x_{2} - \Delta x_{3})}{ \Delta x_{3}} = \cdots$
Отсюда
$\frac{ \Delta x}{ \Delta x_{1}} = \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x_{2}} = \frac{ \Delta x_{2}}{ \Delta x_{3}} = \cdots \equiv n > 1$,
поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних. Таким образом,
$\Delta x_{1} = \frac{ \Delta x}{n}; \Delta x_{2} = \frac{ \Delta x_{1}}{n} = \frac{ \Delta x}{n^{2}}; \Delta x_{3} = \frac{ \Delta x_{2}}{n} = \frac{ \Delta x}{n^{3}}; \cdots$
Подставляя полученные выражения для $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}, \cdots$ в формулу (1), получаем:
$\Delta x = 2 \frac{ \Delta x}{n} + \frac{ \Delta x}{n^{2}} + \frac{ \Delta x}{n^{3}} + \frac{ \Delta x}{n^{4}} + \cdots$
Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем:
$n = 1 + \left ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \cdots \right ) = 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = 1 + \frac{n}{n-1} = \frac{2n-1}{n-1}$,
или $n^{2} — 3n + 1 = 0$.
Решая это квадратное уравнение, находим: $n_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $n > 1$, то $n = \frac{ \Delta x}{ \Delta x_{1}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. С учетом этого, окончательно получаем:
$k_{ \Sigma} = k \left ( 3 - 2 \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} \right ) = k \left ( 3 - 2 \cdot \frac{2}{3 + \sqrt{5}} \right ) = k \cdot \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = k \sqrt{5}$.
Найдите общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин одинаковы и равны $k$, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.
Решение:
Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней силы $F$ через $\Delta x$, а следующих, расположенных ниже платформ, под действием приложенных к ним сил $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \cdots$, — через $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}, \cdots$ соответственно (см. рис.). Тогда из условия равновесия верхней платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что общий коэффициент жёсткости равен:
$k_{ \Sigma} = \frac{F}{ \Delta x} = \frac{k \Delta x + 2k ( \Delta x - \Delta x_{1})}{ \Delta x} = 3k - 2k \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} = k \left ( 3 - 2 \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} \right )$
Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что
$F_{1} = k( \Delta x - \Delta x_{1}) = k \Delta x_{1} + k( \Delta x_{1} - \Delta x_{2})$,
$F_{2} = k( \Delta x_{1} - \Delta x_{2}) = k \Delta x_{2} + k( \Delta x_{2} - \Delta x_{3})$,
$F_{3} = k( \Delta x_{2} - \Delta x_{3}) = k \Delta x_{3} + k( \Delta x_{3} - \Delta x_{4})$,
$\cdots \cdots$
Складывая эти уравнения и сокращая на $k$, получаем:
$\Delta x = 2 \Delta x_{1} + \Delta x_{2} + \Delta x_{3} + \Delta x_{4} + \cdots$. (1)
Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой части данной бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому
$\frac{F_{1}}{ \Delta x_{1}} = \frac{F_{2}}{ \Delta x_{2}} = \frac{F_{3}}{ \Delta x_{3}} = \cdots$,
или
$\frac{ k ( \Delta x - \Delta x_{1})}{ \Delta x_{1}} = \frac{ k ( \Delta x_{1} - \Delta x_{2})}{ \Delta x_{2}} = \frac{ k ( \Delta x_{2} - \Delta x_{3})}{ \Delta x_{3}} = \cdots$
Отсюда
$\frac{ \Delta x}{ \Delta x_{1}} = \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x_{2}} = \frac{ \Delta x_{2}}{ \Delta x_{3}} = \cdots \equiv n > 1$,
поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних. Таким образом,
$\Delta x_{1} = \frac{ \Delta x}{n}; \Delta x_{2} = \frac{ \Delta x_{1}}{n} = \frac{ \Delta x}{n^{2}}; \Delta x_{3} = \frac{ \Delta x_{2}}{n} = \frac{ \Delta x}{n^{3}}; \cdots$
Подставляя полученные выражения для $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}, \cdots$ в формулу (1), получаем:
$\Delta x = 2 \frac{ \Delta x}{n} + \frac{ \Delta x}{n^{2}} + \frac{ \Delta x}{n^{3}} + \frac{ \Delta x}{n^{4}} + \cdots$
Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем:
$n = 1 + \left ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} + \cdots \right ) = 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = 1 + \frac{n}{n-1} = \frac{2n-1}{n-1}$,
или $n^{2} — 3n + 1 = 0$.
Решая это квадратное уравнение, находим: $n_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $n > 1$, то $n = \frac{ \Delta x}{ \Delta x_{1}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. С учетом этого, окончательно получаем:
$k_{ \Sigma} = k \left ( 3 - 2 \frac{ \Delta x_{1}}{ \Delta x} \right ) = k \left ( 3 - 2 \cdot \frac{2}{3 + \sqrt{5}} \right ) = k \cdot \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = k \sqrt{5}$.
