Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1083
2016-09-19 
Два груза массой $m$ подвешены к горизонтальному потолку с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей длиной $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. Грузы соединены лёгким жёстким стержнем (см. рисунок). В положении равновесия нити вертикальны. Определите период малых колебаний системы в плоскости рисунка.
Решение:
При малых колебаниях можно в первом приближении считать, что грузы смещаются в горизонтальном направлении на одинаковую величину $x \ll L_{1,2}$, так как соединяющий их стержень жёсткий (см. рис.). Высота поднятия каждого из грузов $y_{1,2}$ равна
$y_{1,2} = L_{1,2} - L_{1,2} \sqrt{ 1 - \frac{x^{2}}{L_{1,2}^{2}} } \approx \frac{x^{2}}{2L_{1,2}}$.
Поэтому приращение потенциальной энергии системы грузов, выведенной из положения равновесия, равно
$U = mg(y_{1} + y_{2}) = \frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}} \right ) x^{2}$.
Скорости грузов в первом приближении одинаковы:
$v_{1,2} = \sqrt{ ( \frac{dx}{dt})^{2} + ( \frac{dy_{1,2}}{dt})^{2} } = \frac{dx}{dt} \sqrt{ 1 + ( \frac{dy_{1,2}}{dt})^{2} } \approx \frac{dx}{dt} \sqrt{ 1 + \frac{x^{2}}{L_{1,2}^{2}} } \approx \frac{dx}{dt} = v$.
Поэтому кинетическая энергия системы: $W = mv^{2}/2 + mv^{2}/2 = mv^{2}$.
Известно, что если кинетическая энергия системы с одной степенью свободы может быть записана в виде $W = \alpha v^{2}/2$, а потенциальная энергия — в виде $U = \beta x^{2}/2$, где $x$ — некоторая координата, характеризующая положение системы, а $v = dx/dt$ — соответствующая ей скорость, то система может совершать гармонические колебания, период которых определяется формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \alpha / \beta}$. Поэтому в нашем случае период малых колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2m}{mg \left ( \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}} \right )} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2L_{1}L_{2}}{g(L_{1}+L_{2})} }$.
Два груза массой $m$ подвешены к горизонтальному потолку с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей длиной $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. Грузы соединены лёгким жёстким стержнем (см. рисунок). В положении равновесия нити вертикальны. Определите период малых колебаний системы в плоскости рисунка.
Решение:
При малых колебаниях можно в первом приближении считать, что грузы смещаются в горизонтальном направлении на одинаковую величину $x \ll L_{1,2}$, так как соединяющий их стержень жёсткий (см. рис.). Высота поднятия каждого из грузов $y_{1,2}$ равна
$y_{1,2} = L_{1,2} - L_{1,2} \sqrt{ 1 - \frac{x^{2}}{L_{1,2}^{2}} } \approx \frac{x^{2}}{2L_{1,2}}$.
Поэтому приращение потенциальной энергии системы грузов, выведенной из положения равновесия, равно
$U = mg(y_{1} + y_{2}) = \frac{mg}{2} \left ( \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}} \right ) x^{2}$.
Скорости грузов в первом приближении одинаковы:
$v_{1,2} = \sqrt{ ( \frac{dx}{dt})^{2} + ( \frac{dy_{1,2}}{dt})^{2} } = \frac{dx}{dt} \sqrt{ 1 + ( \frac{dy_{1,2}}{dt})^{2} } \approx \frac{dx}{dt} \sqrt{ 1 + \frac{x^{2}}{L_{1,2}^{2}} } \approx \frac{dx}{dt} = v$.
Поэтому кинетическая энергия системы: $W = mv^{2}/2 + mv^{2}/2 = mv^{2}$.
Известно, что если кинетическая энергия системы с одной степенью свободы может быть записана в виде $W = \alpha v^{2}/2$, а потенциальная энергия — в виде $U = \beta x^{2}/2$, где $x$ — некоторая координата, характеризующая положение системы, а $v = dx/dt$ — соответствующая ей скорость, то система может совершать гармонические колебания, период которых определяется формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \alpha / \beta}$. Поэтому в нашем случае период малых колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2m}{mg \left ( \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}} \right )} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2L_{1}L_{2}}{g(L_{1}+L_{2})} }$.
