Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1088
2016-09-19 
Маленькая шайба, скользившая со скоростью $v_{0}$ по гладкому льду поперёк реки, попала на горизонтальный участок берега, на котором при удалении от кромки льда на расстояние $x$ коэффициент трения возрастает по закону: $\mu = \mu_{0} + kx$, где $\mu_{0}$ и $k$ — постоянные величины. Найдите, спустя какое время после выхода на берег шайба остановится.
Решение:
Шайба, попадая на берег, начинает тормозиться под действием силы трения, равной по величине $\mu mg$. Уравнение движения шайбы имеет вид: $ma = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \mu mg = — ( \mu_{0} + kx) mg$, откуда
$\frac{d^{2} x}{dt^{2}} + kg \left ( x + \frac{ \mu_{0}}{k} \right ) =0$.
Обозначая $kg$ через $\omega^{2}$ и вводя новую переменную $z = x + \frac{ \mu_{0}}{k}$, получаем для $x > 0$ уравнение гармонических колебаний:
$\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega^{2} z = 0$.
Решением этого уравнения является функция $z = A \sin ( \omega t + \phi_{0})$, так что $x = A \sin ( \omega t + \phi_{0})$, а скорость шайбы $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos ( \omega t + \phi_{0})$. Из условия задачи следует, что при $t = 0$ координата шайбы $x = 0$, а её скорость $v = v_{0}$. Поэтому $\mu_{0} / k = A \sin \phi_{0}$ и $v_{0} = A \omega \cos \phi_{0}$, откуда
$tg \phi_{0} = \frac{ \omega \mu_{0}}{kv_{0}} = \frac{ \mu_{0}}{ v_{0}} \sqrt{ \frac{g}{k}}$.
Шайба остановится при достижении «максимального отклонения» $x_{0} = A — ( \mu_{0}/k)$, когда её скорость упадёт до нуля. Это произойдёт в момент времени $t_{1}$, когда $\omega t_{1} + \phi_{0} = \pi /2$, откуда
$t_{1} = \frac{1}{ \omega} \left ( \frac{ \pi}{2} - \phi_{0} \right ) = \frac{1}{ \sqrt{kg}} \left ( \frac{ \pi}{2} - arctg \left ( \frac{ \mu_{0}}{v_{0}} \sqrt{ \frac{g}{k}} \right ) \right )$.
Маленькая шайба, скользившая со скоростью $v_{0}$ по гладкому льду поперёк реки, попала на горизонтальный участок берега, на котором при удалении от кромки льда на расстояние $x$ коэффициент трения возрастает по закону: $\mu = \mu_{0} + kx$, где $\mu_{0}$ и $k$ — постоянные величины. Найдите, спустя какое время после выхода на берег шайба остановится.
Решение:
Шайба, попадая на берег, начинает тормозиться под действием силы трения, равной по величине $\mu mg$. Уравнение движения шайбы имеет вид: $ma = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \mu mg = — ( \mu_{0} + kx) mg$, откуда
$\frac{d^{2} x}{dt^{2}} + kg \left ( x + \frac{ \mu_{0}}{k} \right ) =0$.
Обозначая $kg$ через $\omega^{2}$ и вводя новую переменную $z = x + \frac{ \mu_{0}}{k}$, получаем для $x > 0$ уравнение гармонических колебаний:
$\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega^{2} z = 0$.
Решением этого уравнения является функция $z = A \sin ( \omega t + \phi_{0})$, так что $x = A \sin ( \omega t + \phi_{0})$, а скорость шайбы $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos ( \omega t + \phi_{0})$. Из условия задачи следует, что при $t = 0$ координата шайбы $x = 0$, а её скорость $v = v_{0}$. Поэтому $\mu_{0} / k = A \sin \phi_{0}$ и $v_{0} = A \omega \cos \phi_{0}$, откуда
$tg \phi_{0} = \frac{ \omega \mu_{0}}{kv_{0}} = \frac{ \mu_{0}}{ v_{0}} \sqrt{ \frac{g}{k}}$.
Шайба остановится при достижении «максимального отклонения» $x_{0} = A — ( \mu_{0}/k)$, когда её скорость упадёт до нуля. Это произойдёт в момент времени $t_{1}$, когда $\omega t_{1} + \phi_{0} = \pi /2$, откуда
$t_{1} = \frac{1}{ \omega} \left ( \frac{ \pi}{2} - \phi_{0} \right ) = \frac{1}{ \sqrt{kg}} \left ( \frac{ \pi}{2} - arctg \left ( \frac{ \mu_{0}}{v_{0}} \sqrt{ \frac{g}{k}} \right ) \right )$.
