Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16461
2026-02-19 
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Для точки $P$, лежащей на стороне $AB$, отметили такую точку $Q$ на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, что середина $N$ отрезка $PQ$ лежит на стороне $BC$. Для точки $R$, лежащей на стороне $AC$, отметили такую точку $S$ на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, что середина $M$ отрезка $RS$ лежит на стороне $BC$. Докажите, что $\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}$
Решение:
Пусть $P'$ и $Q'$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$ на прямую $BC$. Поскольку $PN=NQ$ прямоугольные треугольники $PNP'$ и $QNQ'$ равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $PP'=QQ'$ и $P'N=Q'N$. Тогда прямоугольные треугольники $PP'B$ и $QQ'C$ равны по катету и противолежащему острому углу, т.к.
$\angle PBP'=\angle ABC=\angle ACB=\angle QCQ'.$
Значит, $BP'=CQ'$. Тогда при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BP'}$ точка $C$ переходит в $Q'$. Следовательно, $P'Q'=BC$, поэтому
$\cos\angle PNM=\frac{P'N}{PN}=\frac{NQ'}{NQ}=\frac{P'Q'}{PQ}=\frac{BC}{PQ},$
и значит, $PQ\cos\angle PNM=BC$.
Аналогично получим, что $RS\cos\angle RMN=BC$. Следовательно,
$RS\cos\angle RMN=PQ\cos\angle PNM~\Rightarrow~\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}.$
Что и требовалось доказать
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Для точки $P$, лежащей на стороне $AB$, отметили такую точку $Q$ на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, что середина $N$ отрезка $PQ$ лежит на стороне $BC$. Для точки $R$, лежащей на стороне $AC$, отметили такую точку $S$ на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, что середина $M$ отрезка $RS$ лежит на стороне $BC$. Докажите, что $\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}$
Решение:
Пусть $P'$ и $Q'$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$ на прямую $BC$. Поскольку $PN=NQ$ прямоугольные треугольники $PNP'$ и $QNQ'$ равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $PP'=QQ'$ и $P'N=Q'N$. Тогда прямоугольные треугольники $PP'B$ и $QQ'C$ равны по катету и противолежащему острому углу, т.к.
$\angle PBP'=\angle ABC=\angle ACB=\angle QCQ'.$
Значит, $BP'=CQ'$. Тогда при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BP'}$ точка $C$ переходит в $Q'$. Следовательно, $P'Q'=BC$, поэтому
$\cos\angle PNM=\frac{P'N}{PN}=\frac{NQ'}{NQ}=\frac{P'Q'}{PQ}=\frac{BC}{PQ},$
и значит, $PQ\cos\angle PNM=BC$.
Аналогично получим, что $RS\cos\angle RMN=BC$. Следовательно,
$RS\cos\angle RMN=PQ\cos\angle PNM~\Rightarrow~\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}.$
Что и требовалось доказать
