Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16463
2026-02-19 
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямые $AA_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ пересекаются в точке $X$, а прямая, проходящая через точку $X$ перпендикулярно $AC$, пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YA_{1}$ проходит через середину отрезка $BH$
Решение:
При инверсии с центром $A$, переводящей точку $A_{1}$ в $H$, прямая $BC$ переходит в окружность, проходящую через точку $A$ (см. задачу 9249), т.е. в окружность с диаметром $AH$. Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на этой окружности (см. задачу 5293), поэтому точки $B$ и $C$ при рассматриваемой инверсии переходят в $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Тогда описанная окружность $\Gamma$ треугольника $ABC$ переходит в прямую $B_{1}C_{1}$, а точка $H_{1}$ пересечения луча $AA_{1}$ с окружностью $\Gamma$ - в точку $X$ пересечения луча $AA_{1}$ с отрезком $B_{1}C_{1}$. Значит, $AH_{1}\cdot AX=AA_{1}\cdot AH$, или $\frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}$, а т.к. $BH\parallel XY$, то
$\frac{AY}{AB}=\frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}.$
Следовательно, $YA_{1}\parallel BH_{1}$, а т.к. $A_{1}$ - середина отрезка $HH_{1}$ (см. задачу 7896), то по теореме Фалеса прямая $A_{1}Y$ пересекает отрезок $BH$ в его середине. Что и требовалось доказать
Высоты $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямые $AA_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ пересекаются в точке $X$, а прямая, проходящая через точку $X$ перпендикулярно $AC$, пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YA_{1}$ проходит через середину отрезка $BH$
Решение:
При инверсии с центром $A$, переводящей точку $A_{1}$ в $H$, прямая $BC$ переходит в окружность, проходящую через точку $A$ (см. задачу 9249), т.е. в окружность с диаметром $AH$. Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на этой окружности (см. задачу 5293), поэтому точки $B$ и $C$ при рассматриваемой инверсии переходят в $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Тогда описанная окружность $\Gamma$ треугольника $ABC$ переходит в прямую $B_{1}C_{1}$, а точка $H_{1}$ пересечения луча $AA_{1}$ с окружностью $\Gamma$ - в точку $X$ пересечения луча $AA_{1}$ с отрезком $B_{1}C_{1}$. Значит, $AH_{1}\cdot AX=AA_{1}\cdot AH$, или $\frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}$, а т.к. $BH\parallel XY$, то
$\frac{AY}{AB}=\frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}.$
Следовательно, $YA_{1}\parallel BH_{1}$, а т.к. $A_{1}$ - середина отрезка $HH_{1}$ (см. задачу 7896), то по теореме Фалеса прямая $A_{1}Y$ пересекает отрезок $BH$ в его середине. Что и требовалось доказать
