ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A\lt\angle C$. Точка $E$ лежит на биссектрисе угла $B$, причём $\angle EAB=\angle ACB$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, причём $BD=AB$. Докажите, что середина $M$ стороны $AC$ лежит на прямой $DE$


Решение:


Пусть $AT$ - биссектриса треугольника $ABC$. Тогда (см. задачу 5137) $\frac{TE}{EA}=\frac{BT}{BA}$. Поскольку $\angle BAT=\angle BCA$, треугольники $TBA$ и $ABC$ с общим углом при вершине $B$ подобны по двум углам, поэтому

$\frac{TE}{EA}=\frac{BT}{BA}=\frac{BA}{BC}=\frac{c}{a}~\Rightarrow~BT=\frac{BA^{2}}{BC}=\frac{c^{2}}{a}.$


Кроме того,

$CD=CB+BD=CB+BA=a+c,$

$DT=DB+BT=BA+BT=c+BT=c+\frac{c^{2}}{a}.$

Значит, рассматривая направленные отрезки, получим

$\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CD}{DT}\cdot\frac{TE}{EA}=1\cdot\frac{CD}{DT}\cdot\frac{BT}{BA}=-\frac{a+c}{c+\frac{c^{2}}{a}}\cdot\frac{\frac{c^{2}}{a}}{c}=-1.$

Следовательно, по теореме Менелая для треугольника $TCA$ точки $D$, $E$ и $M$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать