Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16467
2026-02-19 
Каждая из трёх равных окружностей радиуса $r$ проходит через центры двух других. Найдите площадь пересечения трёх кругов, ограниченных этими окружностями
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры данных окружностей, $\Delta$ - площадь равностороннего треугольника $O_{1}O_{1}O_{3}$, $S$ - площадь сектора, ограниченного радиусами $O_{3}O_{1}$, $O_{3}O_{2}$ и меньшей дугой окружности с центром $O_{3}$. Тогда
$\Delta=\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4},~S=\frac{1}{6}\pi r^{2}.$
Следовательно, искомая площадь пересечения кругов равна
$\Delta+3(S-\Delta)=3S-2\Delta=3\cdot\frac{1}{6}\pi r^{2}-2\cdot\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}r^{2}(\pi-\sqrt{3})$.
Каждая из трёх равных окружностей радиуса $r$ проходит через центры двух других. Найдите площадь пересечения трёх кругов, ограниченных этими окружностями
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ - центры данных окружностей, $\Delta$ - площадь равностороннего треугольника $O_{1}O_{1}O_{3}$, $S$ - площадь сектора, ограниченного радиусами $O_{3}O_{1}$, $O_{3}O_{2}$ и меньшей дугой окружности с центром $O_{3}$. Тогда
$\Delta=\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4},~S=\frac{1}{6}\pi r^{2}.$
Следовательно, искомая площадь пересечения кругов равна
$\Delta+3(S-\Delta)=3S-2\Delta=3\cdot\frac{1}{6}\pi r^{2}-2\cdot\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}r^{2}(\pi-\sqrt{3})$.
